Problem an der Kettenlinie

09/09/2008 - 00:45 von Armin Saam | Report spam
Zwei Aufgaben zur Kettenlinie:

Erstens:
Eine Kette fester Lànge L wird an den Punkten P und Q (gleicher Höhe)
aufgehàngt.
A = |PQ| ist so zu variieren, dass der Flàcheninhalt, der von der Kette und
der Strecke PQ begrenzt wird, maximal ist. Welche Form nimmt die Kette an,
das heißt, wie groß ist in diesem Fall das Verhàltnis D/A des Durchhangs D
zum Punktabstand A?

Zweitens:
Eine geschlossene Kette fester L wird an den Punkten P und Q (gleicher Höhe)
aufgehàngt. A = |PQ| ist so zu variieren, dass der Flàcheninhalt, der von
der Kette und der Strecke PQ begrenzt wird, maximal ist. (Beachte: zur
Gesamtlànge der Kette gehört auch die Strecke PQ). Welche Form nimmt die
Kette an, das heißt, wie groß ist in diesem Fall das Verhàltnis D/A des
Durchhangs D zum Punktabstand A?

Man kann beides mit den Mitteln der Analysis lösen, und da ist es eine
Erleichterung, dass die Bogenlànge an der Kettenlinie bequem darstellbar
ist. Zuletzt braucht man ein Verfahren zur numerischen Lösung einer
Gleichung. Alles machbar, mit ein bißchen Fleiß. Dass im zweiten Fall die
Flàche (nach der Optimierung der Auhàngepunkte) kleiner ist als im ersten,
ist klar. Mir kommt es nur auf die Form (also D/A) an.

Ich habe die Lösungen nicht errechnet, aber nicht nur aus Bequemlichkeit,
sondern, weil mich daran vor allem nur Folgendes interessiert: Ist im
zweiten Fall D/A kleiner, gleich oder größer als im ersten Fall? Mit welchem
Argument kann man das entscheiden, ohne sich auf eine Detail-Rechnung
stützen zu müssen?

Schöne Grüße
Armin Saam
 

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#1 earthnut
09/09/2008 - 08:14 | Warnen spam
Armin Saam wrote:

Zwei Aufgaben zur Kettenlinie:

Erstens:
Eine Kette fester Lànge L wird an den Punkten P und Q (gleicher Höhe)
aufgehàngt. [...]

Zweitens:
Eine geschlossene Kette fester L wird an den Punkten P und Q (gleicher Höhe)
aufgehàngt. [...]

[...]

Ist im zweiten Fall D/A kleiner, gleich oder größer als im ersten Fall? Mit
welchem Argument kann man das entscheiden, ohne sich auf eine Detail-Rechnung
stützen zu müssen?



Die Flàche ist ungefàhr proportional zu AD, d. h. A und D gehen in etwa
gleich stark in die Flàche ein. Im zweiten Fall wàchst aber L etwa
doppelt so stark in A als im ersten Fall. Vergrößern von A führt also
schneller an die Grenze der Kettenlànge.

Im zweiten Fall sollte also D den größeren Anteil zur Flàche beitragen
und im ersten Fall A. D. h. D/A sollte im zweiten Fall größer sein.

Qualitativ àndert sich an der Aufgabe bestimmt auch nicht all zu viel,
wenn man annimmt, die Ketten hàngen rechteckig durch. Aber die Rechnung
wird dadurch wohl deutlich einfacher.

Bastian

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