Problem mit Beispiel aus der Topologie

15/03/2010 - 08:26 von Dominique Töpfer | Report spam
Hallo zusammen,

es geht um ein Skript von Gerald Teschl zur Funktionalanalysis
(http://www.mat.univie.ac.at/~gerald/ftp/book-fa/fa.pdf). Ich habe
Probleme das Beispiel auf Seite 6 (mit den Formeln 1.3 und 1.4)
nachzuvollziehen.

Offenbar geht es darum, dass verschiedene Metriken dieselbe Topologie
induzieren können, wobei beispielhaft die Euklidische Distanz (d) und
die Manhatten-Metrik (d~) benutzt werden.

Aber im Fall von d wàren die offenen Mengen doch (im
zweidimensionalen Fall) offene Kreisscheiben und bei d~ quadratische
Flàchen ohne Rand, womit die Topologien doch nicht gleich sein
können, oder? (Zumindest schließe ich aus der Formulierung "the same
topology", dass eine Gleichheit der Systeme der offenen Teilmengen
gemeint ist und nicht, dass ein Homoöomorphismus zwischen den Ràumen
existiert.)

Die Teilmengenbeziehung, die aus Formel 1.4 gefolgert wird, ist mir
ebenfalls unklar. Nach 1.4 liefert die Euklidische Distanz einen
kleineren (bzw. gleichen) Wert für den Abstand von x zum
Koordinatenursprung als die Manhatten-Metrik. D.h. bei gleichem Radius
können die Punkte einer "d~-Kugel" nicht weiter vom Ursprung entfernt
sein, als die einer "d-Kugel", woraus B~_r(x) Teilmenge von B_r(x)
folgt. Müsste mit derselben Überlegung aber nicht auch B_r(x)
Teilmenge von B~_{r/sqrt(n)}(x) sein (da fehlt m.E. auch eine Tilde
im Skript)?

Ich hoffe, ich bin nicht komplett auf dem Holzweg ;-)

Viele Grüße
Dominique
 

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#1 ram
15/03/2010 - 11:17 | Warnen spam
Dominique Töpfer writes:
Aber im Fall von d wàren die offenen Mengen doch (im
zweidimensionalen Fall) offene Kreisscheiben



Die Menge der offenen Kreisscheiben ist vermutlich eher
(ich habe mir das Skript nicht angesehen) eine Basis oder
Subbasis der Topologie, aber nicht die Topologie selber.

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