Problem mit Momenten

05/06/2011 - 12:24 von Michael Steyer | Report spam
Hallo dsm,

ich komme mit einem selbstgestellten Problem nicht weiter und bitte um eure
Hilfe. Es geht um Momente, also Ausdrücke der Form

mij = sum(x^i*y^j),

wobei die Summation sich in diesem Fall über alle Punkte eines geometrischen
Körpers erstreckt.

In der Ebene sind zwei gleiche Körper K1, K2 (gegeben durch eine endliche
Liste von Punkten) in ihrem jeweiligen Schwerpunkt (S1, S2) an
entgegengesetzten Enden einer gewichtslosen Stange befestigt, und zwar um S1
bzw. S2 drehbar. Der Mittelpunkt der Stange (S0) ist damit Schwerpunkt des
Gesamtsystems.

Jetzt nehmen die beiden Körper beliebige, i.a verschiedene Drehwinkel ein.
Die Koordinaten der gedrehten Körper sind vollstàndig bekannt, sodass sich
z.B. beliebige zentrale Momente berechnen lassen.

Jetzt hàtte ich gerne eine Formel, die den Lagewinkel der Stange zurückgibt.
Mit anderen Worten: Gibt es ein zentrales Moment (bezüglich S0), dass
invariant bezüglich der individuellen Verdrehung von K1/K2 ist, nicht aber
gegenüber der Verdrehung der Stange, die die Schwerpunkte S1 / S2 verbindet?

Natürlich habe ich an die Haupttràgheitsachse gedacht, die aus einer
Eigenwertberechnung hervorgeht, die ist es aber nicht!

Vielen Dank fürs Nachdenken !

Michael
 

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#1 Ralf . K u s m i e r z
06/06/2011 - 03:19 | Warnen spam
Michael Steyer schrieb:

ich komme mit einem selbstgestellten Problem nicht weiter und bitte um eure
Hilfe. Es geht um Momente, also Ausdrücke der Form

mij = sum(x^i*y^j),

wobei die Summation sich in diesem Fall über alle Punkte eines geometrischen
Körpers erstreckt.

In der Ebene sind zwei gleiche Körper K1, K2 (gegeben durch eine endliche
Liste von Punkten) in ihrem jeweiligen Schwerpunkt (S1, S2) an
entgegengesetzten Enden einer gewichtslosen Stange befestigt, und zwar um S1
bzw. S2 drehbar. Der Mittelpunkt der Stange (S0) ist damit Schwerpunkt des
Gesamtsystems.

Jetzt nehmen die beiden Körper beliebige, i.a verschiedene Drehwinkel ein.
Die Koordinaten der gedrehten Körper sind vollstàndig bekannt, sodass sich
z.B. beliebige zentrale Momente berechnen lassen.

Jetzt hàtte ich gerne eine Formel, die den Lagewinkel der Stange zurückgibt.
Mit anderen Worten: Gibt es ein zentrales Moment (bezüglich S0), dass
invariant bezüglich der individuellen Verdrehung von K1/K2 ist, nicht aber
gegenüber der Verdrehung der Stange, die die Schwerpunkte S1 / S2 verbindet?

Natürlich habe ich an die Haupttràgheitsachse gedacht, die aus einer
Eigenwertberechnung hervorgeht, die ist es aber nicht!

Vielen Dank fürs Nachdenken !



Falls ich jetzt nicht völlig Bahnhof verstanden habe, brauchst Du doch
nur S1 und S2 (also deren Positionen) explizit auszurechnen. Aus der
Differenz bekommst Du den Richtungsvektor und damit den Lagewinkel der
Stange.

(Den Schwerpunkt kriegst Du bekanntlich raus, wenn Du über die
Ortsvektoren aller (bzw. einiger speziell ausgewàhlter) Punkte des
Körpers summierst (also die Momente erster Ordnung bzgl. eines
beliebig gewàhlten Zentrums) und durch die "Masse" dividierst. Zur
Schwerpunktdefinition reichen 4 nicht-komplanare Punkte aus, d. h. Du
brauchst ein System aus vier Vektoren des Körpers, von denen jeweils
drei im Schwerpunktsystem linear unabhàngig sind. Dann lassen sich
drei der vier mit (ggf. negativen) Massen so belegen, daß das erste
Moment im Schwerpunktsystem verschwindet - der vierte Punkt bekommt
eine feste Masse |= 0 (z. B. 1).)

Die Lösung ist mit 2x acht Punkten sogar überbestimmt, weil der
Abstand der Schwerpunkte vorab festliegt. Das làßt sich ggf. für eine
Ausgleichsrechnung verwenden, wenn die Punktpositionen ungenau sind.


Gruß aus Bremen
Ralf
R60: Substantive werden groß geschrieben. Grammatische Schreibweisen:
adressiert Appell asynchron Atmosphàre Autor bißchen Ellipse Emission
gesamt hàltst Immission interessiert korreliert korrigiert Laie
nàmlich offiziell parallel reell Satellit Standard Stegreif voraus

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