Problem mit Wirkungsquerschnitt in phi^3-Theorie

28/05/2009 - 15:29 von Denis Besak | Report spam
Hallo!

Und das naechste Problem im Rahmen der Tutortaetigkeit in der
Quantenfeldtheorie... *g* Der Prof hat als Aufgabe gestellt, den
Wirkungsquerschnitt fuer den Prozess

phi + phi => phi + phi

in niedrigster Ordnung der phi^3-Theorie mit WW-Term lambda/3! phi^3
zu berechnen. Ich komme dabei auch auf das Endergebnis, das Srednicki
in seinem Buch angibt, Gleichung (11.44). Das Ergebnis ist aber
seltsam. Die Teilchen haben alle die Masse m, d.h. die kinematische
Schwelle liegt bei s = 4m^2. Ich wuerde normalerweise erwarten, dass
im Limes s => 4m^2 der Wirkungsquerschnitt gegen Null geht. Dies sieht
man auch sehr deutlich, wenn man dsigma/dt hinschreibt und dann ueber
t integriert. Die Grenzen dabei sind t_min = -(s - 4m^2) und t_max 0. Im Limes s => 4m^2 gibt es also quasi keinen Phasenraum mehr, man
integriert von 0 bis 0 und das Ergebnis sollte 0 sein.
Allerdings ist es das nicht, wie man auch an Gleichung (11.45) in
Srednicki sehen kann, der Wirkungsquerschnitt geht gegen 25*lambda^4/
(1152*pi*m^6). Das hiesse aber, dass der Wirkungsquerschnitt an der
Schwelle s = 4m^2 unstetig sein muss, so dass was anderes rauskommt
wenn ich erst integriere und dann den Limes bilde bzw. das in der
umgekehrten Reihenfolge tue.

Meine Frage ist nun: Hat dieses unstetige Verhalten irgendeine
physikalische Bedeutung? Passiert nahe der kinematischen Schwelle in
so einer Skalartheorie irgendwas spezielles, das man in einer
konsistenten Rechnung einbeziehen muss? Oder muss da irgendwo ein
mathematischer Fehler unterlaufen sein (was hiesse, dass Srednickis
Ergebnis, das mit meinem ja uebereinstimmt, auch falsch ist), weil es
nichts geben kann, das ein solches Verhalten hervorrufen koennte?

Waere echt froh, wenn mir jemand weiterhelfen koennte, der Prof war da
auch ratlos. Er mag skalare Theorien auch genausowenig wie ich und hat
sich anscheinend nie ernsthaft damit befasst.

Vielen Dank schonmal!

Denis Besak
 

Lesen sie die antworten

#1 Hendrik van Hees
28/05/2009 - 15:52 | Warnen spam
Wenn ich mich recht entsinne, muß bei S-Wellenkopplungen der
Wirkungsquerschnitt an der Schwelle nicht 0 werden.

Abgesehen davon ist phi^3-Theorie nur scheinbar didaktisch gut. Der
Srednicky hàlt sich mit diesem unphysikalischen Zeugs viel zu lange
auf. Wenn schon rein skalare Theorie, dann phi^4!

Denis Besak wrote:

Hallo!

Und das naechste Problem im Rahmen der Tutortaetigkeit in der
Quantenfeldtheorie... *g* Der Prof hat als Aufgabe gestellt, den
Wirkungsquerschnitt fuer den Prozess

phi + phi => phi + phi

in niedrigster Ordnung der phi^3-Theorie mit WW-Term lambda/3! phi^3
zu berechnen. Ich komme dabei auch auf das Endergebnis, das
Srednicki in seinem Buch angibt, Gleichung (11.44). Das Ergebnis ist
aber seltsam. Die Teilchen haben alle die Masse m, d.h. die
kinematische Schwelle liegt bei s = 4m^2. Ich wuerde normalerweise
erwarten, dass im Limes s => 4m^2 der Wirkungsquerschnitt gegen Null
geht. Dies sieht man auch sehr deutlich, wenn man dsigma/dt
hinschreibt und dann ueber t integriert. Die Grenzen dabei sind
t_min = -(s - 4m^2) und t_max = 0. Im Limes s => 4m^2 gibt es also
quasi keinen Phasenraum mehr, man integriert von 0 bis 0 und das
Ergebnis sollte 0 sein. Allerdings ist es das nicht, wie man auch an
Gleichung (11.45) in Srednicki sehen kann, der Wirkungsquerschnitt
geht gegen 25*lambda^4/ (1152*pi*m^6). Das hiesse aber, dass der
Wirkungsquerschnitt an der Schwelle s = 4m^2 unstetig sein muss, so
dass was anderes rauskommt wenn ich erst integriere und dann den
Limes bilde bzw. das in der umgekehrten Reihenfolge tue.

Meine Frage ist nun: Hat dieses unstetige Verhalten irgendeine
physikalische Bedeutung? Passiert nahe der kinematischen Schwelle in
so einer Skalartheorie irgendwas spezielles, das man in einer
konsistenten Rechnung einbeziehen muss? Oder muss da irgendwo ein
mathematischer Fehler unterlaufen sein (was hiesse, dass Srednickis
Ergebnis, das mit meinem ja uebereinstimmt, auch falsch ist), weil
es nichts geben kann, das ein solches Verhalten hervorrufen koennte?

Waere echt froh, wenn mir jemand weiterhelfen koennte, der Prof war
da auch ratlos. Er mag skalare Theorien auch genausowenig wie ich
und hat sich anscheinend nie ernsthaft damit befasst.

Vielen Dank schonmal!

Denis Besak



Hendrik van Hees Institut für Theoretische Physik
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Fax: +49 641 99-33309 D-35392 Gießen
http://theory.gsi.de/~vanhees/faq/

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