Produkt der Elemente einer endlichen Gruppe

27/11/2007 - 15:21 von Jan Fricke | Report spam
Hallo,
es sei (G,o) eine endliche Gruppe, G={g_1,...,g_n}. Wir setzen
g = g_1 o g_2 o ... o g_n.
Falls G abelsch ist, dann ist g eindeutig bestimmt (d.h. von der
Reihenfolge unabhàngig), und:

/ x, falls x das einzige Element mit Ordnung 2 ist,
g = {
\ id, sonst.

(Der erste Fall tritt genau dann ein, falls G=U+Z_{2^n} mit |U|
ungerade. Dann ist x=[id]+[2^{n-1}].)

Kann man etwas nettes über g sagen, falls G nicht abelsch ist? Ich hatte
ja vermutet, dass die Ordnung von g 1 oder 2 ist, aber da gibt es ein
Gegenbeispiel mit Ordnung 3 in der S_5. Über die Anzahl der möglichen g
kann man vermutlich auch nicht viel sagen, da man ja durch Konjugation
haufenweise neue g's bekommt.

Viele Grüße Jan
 

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28/11/2007 - 18:19 | Warnen spam
Jan wrote:
Hallo,
es sei (G,o) eine endliche Gruppe, G={g_1,...,g_n}. Wir setzen
g = g_1 o g_2 o ... o g_n.
Falls G abelsch ist, dann ist g eindeutig bestimmt (d.h. von der
Reihenfolge unabhàngig), und:

/ x, falls x das einzige Element mit Ordnung 2 ist,
g = {
\ id, sonst.

(Der erste Fall tritt genau dann ein, falls G=U+Z_{2^n} mit |U|
ungerade. Dann ist x=[id]+[2^{n-1}].)

Kann man etwas nettes über g sagen, falls G nicht abelsch ist? Ich hatte
ja vermutet, dass die Ordnung von g 1 oder 2 ist, aber da gibt es ein
Gegenbeispiel mit Ordnung 3 in der S_5. Über die Anzahl der möglichen g
kann man vermutlich auch nicht viel sagen, da man ja durch Konjugation
haufenweise neue g's bekommt.




Man hat ja nur die Gruppeneigenschaften. Erst mal gibt es nur ein
Neutralelement, also ist g auch aus n - 1 Elementen herstellbar.
Wenn alle anderen Elemente verschieden von ihrem inversen sind, dann
muss n-1 gerade sein - und g ist dann doch gleich dem Neutralelement.
Bleiben also noch die Gruppen, in denen einige Elemente nicht
verschieden von ihrem Inversen sind. Dort ist g gleich dem Produkt aus
genau diesen Elementen.
Nun ist g dann gleich dem Neutralelement oder es ist gleich einem
Element, das mit seinem Inversen identisch ist, oder gleich einem
Element, das nicht gleich seinem Inversen ist, da G abgeschlossen.
Dann können wir g aber doch auf beiden Seiten der definierenden
Gleichung rauskürzen.
Ich hab das mal so in einem weg geschrieben, überprüf das mal.

Mit freundlichen Grüssen
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