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Produkt von 2 meßbaren Räumen, bestimmte nicht-meßbare Funktion auf einem der beiden finden

19/10/2012 - 12:45 von Stephan Gerlach | Report spam
Seien (OMEGA1, SIGMA1) und (OMEGA2, SIGMA2) meßbare Ràume.
Auf (OMEGA2, SIGMA2) sei zudem ein Maß µ definiert.

Wir betrachten das kartesische Produkt der beiden meßbaren Ràume:

(OMEGA1×OMEGA2, SIGMA1×SIGMA2)

SIGMA1×SIGMA2 ist hierbei wie üblich diejenige Sigma-Algebra auf
OMEGA1×OMEGA2, welche von den "Rechteck-Mengen" A1×A2, mit A1 aus SIGMA1
und A2 aus SIGMA2, erzeugt wird.

Es sei dann Q eine beliebige Menge aus SIGMA1×SIGMA2 (nicht unbedingt
eine Rechteck-Menge).

Für beliebiges x1 aus OMEGA1 wird der sogenannte x1-Schnitt Q_x1 von Q
definiert:

Q_x1 := {x2 in OMEGA2 mit: (x1,x2) in Q}

Wir definieren nun - mit Q als Parameter - folgende Funktion f_Q auf OMEGA1:

f_Q(x1) := µ(Q_x1).

Das heißt, f_q mißt für x1 die Lànge des x1-Schnittes von Q.
Offensichtlich bildet f_Q damit ins abgeschlossene Intervall [0,\infty]
ab. Der Wert \infty (unendlich) ist möglich, da µ *nicht* endlich sein
könnte. Es gilt nun folgender Satz:

Satz 1

Falls µ endlich oder sigma-endlich ist, so ist f_Q eine
SIGMA1-B1-meßbare Funktion (wobei B1 die Borel'sche Sigma-Algebra auf R
bezeichnet).
Das heißt, für jede Borelmenge B in B1 ist also das Urbild f_Q^{-1}(B)
eine Menge aus SIGMA1.

Der Beweis des Satzes erfolgt so, daß man ihn zunàchst für endliches µ
zeigt und dann die Aussage für sigma-endliches µ daraus ableitet.

Auf Grundlage dieses Satzes kann man dann - für sigma-endliches µ - ein
Produktmaß auf (OMEGA1×OMEGA2, SIGMA1×SIGMA2) definieren.


Soweit, sogut.
Nun die Frage: Wie ist das, wenn µ *nicht* sigma-endlich ist? Gibt es
dann eine Menge Q, so daß f_Q *nicht* SIGMA1-B1-meßbar ist?

Damit man ein derartiges Beispiel findet, darf
- SIGMA1 nicht die Potenzmente P(OMEGA1) sein
- Q keine Rechteckmenge sein.

Ich dachte spontan an eine Konstruktion, wo beide meßbaren Ràume (R,B1)
sind (meinetwegen eingeschrànkt auf ein Intervall), und µ das Zàhlmaß
auf (R,B1). Das Zàhlmaß ist offensichtlich auf (R,B1) nicht sigma-endlich.

Falls das tatsàchlich schon für ein (Gegen-)Beispiel zu Satz 1
ausreicht, würde die Frage also lauten:
Gibt es eine (Borel-)Menge Q aus B1×B1², und gibt es eine Borelmenge B
aus B1, so daß f_Q^{-1}(B) *keine* Borelmenge ist?

Die Schwierigkeit scheint IMHO im Finden einer "passenden" Menge Q zu
liegen.



Eigentlich sollte Brain 1.0 laufen.


gut, dann werde ich mir das morgen mal besorgen...
(...Dialog aus m.p.d.g.w.a.)
 

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#1 Martin Vaeth
19/10/2012 - 17:21 | Warnen spam
Stephan Gerlach wrote:

f_Q(x1) := µ(Q_x1).

Satz 1

Falls µ endlich oder sigma-endlich ist, so ist f_Q eine
SIGMA1-B1-meßbare Funktion (wobei B1 die Borel'sche Sigma-Algebra auf R
bezeichnet).

Nun die Frage: Wie ist das, wenn µ *nicht* sigma-endlich ist?



Das wird ausführlich im Buch "Mass und Integrationstheorie"
von E. Behrends diskutiert.

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