Produkt von Sinuswerten

14/08/2009 - 09:52 von Jutta Gut | Report spam
Hallo!

Auf http://mathworld.wolfram.com/Trigon...ngles.html wird folgende
Formel erwàhnt:

product_{k=1}^floor{n/2} sin(k*pi/n) = sqrt(n/2^(n-1)) (24)

(Ich hoffe, mein Pseudo-Latex ist leserlich)
also z.B.
sin(pi/7)*sin(2*pi/7)*sin(3*pi/7) = sqrt(7/64)

Weil sin(pi-x) = sin(x), kann man auch noch die Faktoren von k = n/2 bis n-1
dazunehmen und erhàlt

product_{k=1}^{n-1} sin(k*pi/n) = n/2^(n-1) (24a)

(Wenn n gerade ist, kommt der Faktor mit k=n/2 doppelt vor, aber weil
sin(pi/2) = 1, àndert das nichts. Formel (22) auf derselben Seite ist
allerdings trivial, weil sin(pi) = 0.)

Aus Formel (24) bzw. (24a) kann man vielleicht "meine" Formel aus dem Thread
"Farey-Folgen, das kgV{1,2,...n} und die Sinusfunktion] ableiten.

Meine Frage: Kennt jemand einen Beweis von Formel (24), für den man keine
Gammafunktion oder àhnliches braucht?

Grüße
Jutta
 

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#1 Wolfgang Kirschenhofer
15/08/2009 - 10:33 | Warnen spam
Jutta Gut schrieb:
Hallo!

Auf http://mathworld.wolfram.com/Trigon...ngles.html wird folgende
Formel erwàhnt:

product_{k=1}^floor{n/2} sin(k*pi/n) = sqrt(n/2^(n-1)) (24)

(Ich hoffe, mein Pseudo-Latex ist leserlich)
also z.B.
sin(pi/7)*sin(2*pi/7)*sin(3*pi/7) = sqrt(7/64)

Weil sin(pi-x) = sin(x), kann man auch noch die Faktoren von k = n/2 bis
n-1 dazunehmen und erhàlt

product_{k=1}^{n-1} sin(k*pi/n) = n/2^(n-1) (24a)

(Wenn n gerade ist, kommt der Faktor mit k=n/2 doppelt vor, aber weil
sin(pi/2) = 1, àndert das nichts. Formel (22) auf derselben Seite ist
allerdings trivial, weil sin(pi) = 0.)

Aus Formel (24) bzw. (24a) kann man vielleicht "meine" Formel aus dem
Thread "Farey-Folgen, das kgV{1,2,...n} und die Sinusfunktion] ableiten.

Meine Frage: Kennt jemand einen Beweis von Formel (24), für den man
keine Gammafunktion oder àhnliches braucht?

Grüße
Jutta



Hallo Jutta und andere Interessierte!

Ich kann jetzt obige Formel (24) - ohne die Gammafunktion zu benützen -
beweisen. Im Funktionentheorie-Lehrbuch von Freitag, Busam ist das eine
Übungsaufgabe auf Seite 27 ohne Lösungsweg, aber mit einem Tip.
Auch mit Tip ist mir die Lösung nicht leicht gefallen.
Man geht aus von den n-ten Einheitswurzeln, d.h. von den n-Lösungen der
Gleichung x^n-1=0.
Es sind dies bekanntlich x_0=1, x_k=x_1^k= (exp(2*pi*i/n))^k ,1<=k<=n-1
Es gilt daher x^n-1 = (x-1)*product_{k=1} to {n-1} (x-x_k) und daher weiter
x^(n-1)+x^(n-2)+...+x^2+1 = product_{k=1} to {n-1} (x-x_k) (1)
Setzt man in Gleichung (1) x=1, dann erhàlt man die Gleichung

n-1=product_{k=1} to {n-1} (1-x_k)
=product_{k=1} to {n-1} (1 - exp(2*pi*i*k/n)) (2)

Es muß nun die rechte Seite der Gleichung (2) geschickt umgeformt werden.
Wir verwenden dabei: 1- cos(2*phi)=2*sin^2 (phi) und
cos(x) = (exp(x*i)+exp(-x*i))/2

Auf der rechten Seite von (2) fassen wir jeweils zwei Faktoren zusammen:

(1 - exp(2*pi*i*k/n))*(1 - exp(2*pi*i*(n-k)/n))=(1 - exp(2*pi*i*k/n))*(1 - exp(-2*pi*i*k/n)) (3)

Ist n = 2*m+1, also n ungerade, dann folgt aus 1<=k<=m, daß m+1<=n-k<=n-1.
D.h.im Produkt der rechten Seite von (2) erhàlt man mit Hilfe von (3)
und 1<=k<=m alle Faktoren.

Nun ist
(1 - exp(2*pi*i*k/n))*(1 - exp(-2*pi*i*k/n)=2*(1 - cos(2*pi*k/n))=(2^2)*sin^2(pi*k/n)
Setzt man dies in die rechte Seite von (2) ein, dann erhàlt man
product_{k=1} to {n-1} (1 - exp(2*pi*i*k/n))= 2^(2*m)*product_{k=1} to {m} sin^2 (pi*k/n)= 2^(n-1)*product_{k=1} to {floor(n/2)} sin^2 (pi*k/n)

Setzt man dies in(2) ein und zieht links und rechts die Quadratwurzel,
dann erhàlt man
sqrt(n-1)=sqrt(2^(n-1))*product_{k=1} to {floor(n/2)} sin(pi*k/n) und
daraus erhàlt man sofort (24).
Jetzt ist nur mehr der Fall n=2*m zu betrachten:
Aus 1<=k<=m-1 folgt m+1<=n-k<=n-1.
Für k=m haben wir statt eines Paares von Faktoren nur den Faktor
(1 - exp(2*pi*i*m/(2*m))= (1+1)=2
Wir erhalten jetzt für die rechte Seite von (2) das Produkt

2^(2*m-2)*2*product_{k=1} to {m-1} sin^2 (pi*k/n)= 2^(2*m-1)*product_{k=1} to {m} sin^2 (pi*k/n),
weil sin^2 (pi*m/(2*m) = 1 ist.
Es gilt also auch im Fall, daß m gerade ist, die Formel (24).
q.e.d.

In einem nàchsten Beitrag werde ich (24) nach der Arbeit von Greg Martin
mit Hilfe der Gammafunktion herleiten.
Diese Arbeit habe ich durch einen Verweis aus der kleinen, aber sehr
interessanten Arbeit von Peter Luschny
http://www.luschny.de/math/lcm/FareySinLcm.html
kennengelernt.
Daher möchte ich alle Mitleser auf den von Peter am 8.8.2009,23:40
eröffneten interessanten Thread "Farey-Folgen,das kgV{1,2,...,n} und die
Sinusfunktion" hinweisen.

Viele Grüße,
Wolfgang Kirschenhofer

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