Forums Neueste Beiträge
 

Prominente transzendente Zahlen -- in den p-adischen Zahlen

16/03/2009 - 23:49 von Jan Fricke | Report spam
Hallo!
Jeder kennt die Promis unter den Zahlen, wie 0, 1, 42, den goldenen
Schnitt, die imaginàre Einheit, Pi und die Euler-Zahl e. Ein paar davon
sind rational, einige algebraisch, die "Megastars" allerdings
transzendent. Deswegen sei noch mal an deren Definition erinnert:

Pi ist das Doppelte der kleinsten positiven Nullstelle des Kosinus.

e ist der Grenzwert der Folge (1+1/n)^n bzw. der Reihe sum(1/n!).

Wenn man von den reellen zu den p-adischen Zahlen übergeht, lassen sich
die algebraischen Zahlen genauso definieren. Doch was passiert mit Pi
und e? Der p-adische Kosinus hat innerhalb seines Konvergenzkreises
keine Nullstellen (analytische Fortsetzung gibt es nicht!), die Folge
(1+1/n)^n und die Reihe sum(1/n!) sind divergent. (Anmerkung: letzteres
ist àquivalent zur Aussage, dass 1 nicht mehr im Konvergenzkreis der
p-adischen Exponential-Funktion liegt.)

Was tun? Pi und e scheinen nur in den reellen Zahlen eine Bedeutung zu
haben. Gibt es transzendente p-adische Zahlen, eine àhnlich zentrale
Bedeutung haben?


Viele Grüße Jan
 

Lesen sie die antworten

#1 Detlef Müller
20/03/2009 - 01:47 | Warnen spam
Jan Fricke schrieb:
Hallo!
Jeder kennt die Promis unter den Zahlen, wie 0, 1, 42, den goldenen
Schnitt, die imaginàre Einheit, Pi und die Euler-Zahl e. Ein paar davon
sind rational, einige algebraisch, die "Megastars" allerdings
transzendent. Deswegen sei noch mal an deren Definition erinnert:

Pi ist das Doppelte der kleinsten positiven Nullstelle des Kosinus.

e ist der Grenzwert der Folge (1+1/n)^n bzw. der Reihe sum(1/n!).

Wenn man von den reellen zu den p-adischen Zahlen übergeht, lassen sich
die algebraischen Zahlen genauso definieren. Doch was passiert mit Pi
und e? Der p-adische Kosinus hat innerhalb seines Konvergenzkreises
keine Nullstellen (analytische Fortsetzung gibt es nicht!), die Folge
(1+1/n)^n und die Reihe sum(1/n!) sind divergent. (Anmerkung: letzteres
ist àquivalent zur Aussage, dass 1 nicht mehr im Konvergenzkreis der
p-adischen Exponential-Funktion liegt.)

Was tun? Pi und e scheinen nur in den reellen Zahlen eine Bedeutung zu
haben. Gibt es transzendente p-adische Zahlen, eine àhnlich zentrale
Bedeutung haben?



Ja, schade - nun hatte ich gehofft es gibt einen schönen Thread
in dem ich einiges über die p-adischen Zahlen lerne ...

Definiert hier f(x)=sum(n!*x^n) eine schöne Funktion
und hat die Zahl f(1)=sum(n!) statt e^1=sum(1/n!) vielleicht
besondere Eigenschaften?

Gruß,
Detlef

Dr. Detlef Müller,
http://www.mathe-doktor.de oder http://mathe-doktor.de

Ähnliche fragen