Publikumsjoker, Analyse

22/11/2011 - 14:03 von Stephan Gerlach | Report spam
Gestern schaute ich mal wieder zufàllig "Wer wird Millionàr", wobei auch
der berühmte Publikumsjoker von diversen Kanditaten gezogen wurde.

Mir kam dabei nebenbei in den Sinn, ob man aus Sicht des Kandidaten das
Nutzen des Publikumsjokers auf irgendwie sinnvolle Art und Weise als
Signifikanztest o.à. betrachten könnte. D.h. man überlegt sich eine vor
dem Ziehen des Publikmsjokers eine Entscheidungsregel, aufgrund derer
man sich für eine der möglichen Antworten entscheidet, so daß die
Wahrscheinlichkeit, daneben zu liegen, einen bestimmten Wert, z.B. 5%,
nicht überschreitet.

Zur Vereinfachung sei angenommen:
- Es gibt eine Frage mit nur 2 möglichen Antworten A und B.
- Der Kandidat hat überhaupt keine Ahnung, ob A oder B richtig ist.
- Es gibt n0 Zuschauer ("Publikum"), von denen eine unbekannte Anzahl
k, wobei k zwischen 0 und 100 sein kann, die richtige Antwort sicher
weiß, und die 100-k Zuschauer, die die Antwort *nicht* wissen, "zufàllig
raten".

Das Problem scheint irgendwie einfach(?), aber anscheinend habe ich
diesbezüglich momentan noch ein Brett vorm Kopf. Folgende Probleme:
- *Vor* dem Ziehen des Publikumsjokers ist für den Kandidaten
P(A ist richtig) = 0,5
Tippen nun z.B. 63 der Zuschauer auf Antwort A und 37 auf Antwort B, so
folgt daraus natürlich *nicht*, daß dann, also *nach* Ziehen des
Publikumsjokers, plötzlich
P(A ist richtig|63 haben A getippt) = 0,63
wàre.
- Irgendwie ist unklar, welche Hypothesen - sofern überhaupt möglich -
man hier sinnvoll gegeneinander testen könnte. Da man *keine*
Information über den Anteil derjenigen Zuschauer hat, welche die
richtige Antwort wissen.
- Man könnte natürlich diesen Anteil *schàtzen*: Sagen z.B. 60 Zuschauer
A und 40 Zuschauer B, so könnte(!) man aufgrunddessen schàtzen:
40 haben A geraten, 40 haben B geraten, und 20 haben A gewußt.

Irgendwelche Hinweise?
Vermutlich ist das überaus trivial, und mir wird heute (oder morgen)
abend die richtige Herangehensweise inzwischen vielleicht selber
eingefallen sein...



Eigentlich sollte Brain 1.0 laufen.


gut, dann werde ich mir das morgen mal besorgen...
(...Dialog aus m.p.d.g.w.a.)
 

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#1 Christopher Creutzig
22/11/2011 - 19:48 | Warnen spam
On 11/22/11 2:03 PM, Stephan Gerlach wrote:
Gestern schaute ich mal wieder zufàllig "Wer wird Millionàr", wobei auch
der berühmte Publikumsjoker von diversen Kanditaten gezogen wurde.

Mir kam dabei nebenbei in den Sinn, ob man aus Sicht des Kandidaten das
Nutzen des Publikumsjokers auf irgendwie sinnvolle Art und Weise als
Signifikanztest o.à. betrachten könnte. D.h. man überlegt sich eine vor
dem Ziehen des Publikmsjokers eine Entscheidungsregel, aufgrund derer
man sich für eine der möglichen Antworten entscheidet, so daß die
Wahrscheinlichkeit, daneben zu liegen, einen bestimmten Wert, z.B. 5%,
nicht überschreitet.

Zur Vereinfachung sei angenommen:
- Es gibt eine Frage mit nur 2 möglichen Antworten A und B.
- Der Kandidat hat überhaupt keine Ahnung, ob A oder B richtig ist.
- Es gibt n0 Zuschauer ("Publikum"), von denen eine unbekannte Anzahl
k, wobei k zwischen 0 und 100 sein kann, die richtige Antwort sicher
weiß, und die 100-k Zuschauer, die die Antwort *nicht* wissen, "zufàllig
raten".



Tja, und wie soll diese 5%-Schranke dann zustande kommen, wenn k klein
ist, bspw. k=0, k=1, k=2?

Das Problem scheint irgendwie einfach(?), aber anscheinend habe ich
diesbezüglich momentan noch ein Brett vorm Kopf. Folgende Probleme:
- *Vor* dem Ziehen des Publikumsjokers ist für den Kandidaten
P(A ist richtig) = 0,5
Tippen nun z.B. 63 der Zuschauer auf Antwort A und 37 auf Antwort B, so
folgt daraus natürlich *nicht*, daß dann, also *nach* Ziehen des
Publikumsjokers, plötzlich
P(A ist richtig|63 haben A getippt) = 0,63
wàre.



Aber wenn P(k>0) >0 ist, gilt
P(A ist richtig | 63 haben A getippt) >
P(B ist richtig | 63 haben A getippt)

Unter den genannten Voraussetzungen ist es vorteilhaft, der
Zuschauerentscheidung zu folgen. Ich sehe noch nicht ganz, welchen
Mehrwert für die Entscheidung es bringt, die Wahrscheinlichkeitswerte
genauer zu bestimmen.

Da zusàtzlich zu den k Cognoscenti noch n-k der 100-k Unwissenden
richtig raten müssen, komme ich auf

P(n Leute haben A getippt | A ist richtig und k Leute wissen das)
= binomial(100-k, n-k)*1/2^(100-k)

Wenn Du eine Verteilung der k voraussetzt, kannst Du die
Gesamtverteilung berechnen und dann über Bayes (unter weiteren Annahmen)
P(A ist richtig | n Leute haben A getippt) herleiten. Wie ich schon
schrieb, sehe ich aber bislang keinen Vorteil darin, diese Formel zu kennen.

- Man könnte natürlich diesen Anteil *schàtzen*: Sagen z.B. 60 Zuschauer
A und 40 Zuschauer B, so könnte(!) man aufgrunddessen schàtzen:
40 haben A geraten, 40 haben B geraten, und 20 haben A gewußt.



Das wird ein ziemlich brauchbarer Schàtzer sein. Erwartungtreu ist er,
und die zugrundeliegende Verteilung ist symmetrisch mit einem
ausgepràgten Maximum in der Mitte.

Gewinnen und verlieren in einer Diskussion können sich vernünftigerweise
nur beziehen auf Gewinn an Erkenntnis und Verlust von Vorurteilen.
Wer meint, es ginge um Gewinnen von Plàtzen in der Hackordnung
und Niedermachen eines "Gegners", sollte sich begraben lassen.

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