Punktkoordinaten eines Polyeders berechnen

26/03/2008 - 18:05 von Oliver | Report spam
Hallo,
ich bin kein Matheschüler, oder -student oder Mathematiker, nur
interessierter Laie. Darum kann es sein, dass ich mich bei meinem
Problem unklar oder falsch ausdrücke.
Ich weiss nicht, ob und wie ich Bilder hinzufügen kann, dann muß es
eben ohne gehen.

Ich suche das Polyeder mit den folgenden Eigenschaften:
-Das Kantenskelett ist homöomorph zu dem Graphen mit dieser
Adjazenzmatrix :

0110010
1010001
1101010
0010110
0001011
1011101
0100110

Der Graph ist asymmetrisch und selbstdual (wenn nicht, hab ich die
Adjazenzmatrix falsch geschrieben)

- Alle Kanten des Polyeders berühren die Einheitskugel
- Die Punkte, wo die Kanten die Kugelflàche berühren, haben ihren
Schwerpunkt im Ursprung.

Wie finde ich heraus, wie dieses Polyeder genau aussieht? (Ich möchte
es nàmlich gerne bauen)

Einen Anhaltspunkt habe ich bei Wikipedia gefunden:
"Any convex polyhedron can be distorted into a canonical form, in
which a midsphere or intersphere exists tangent to every edge, such
that the average position of these points is the center of the sphere,
and this form is unique up to congruences.

If we reciprocate such a polyhedron about its intersphere, the dual
polyhedron will share the same edge-tangency points and so must also
be canonical; it is the canonical dual, and the two together form a
canonical dual compound."
(aus dem Artikel "Dual polyhedron")

Das bedeutet (da der obige Graph selbstdual ist), dass das gesuchte
Polyeder auch selbstdual ist, in dem Sinne, das die Duale kongruent
sind.

Weiter komme ich aber nicht. Natürlich könnte ich auch versuchen, das
Problem irgendwie experimentell zu lösen, also zu versuchen, ein
Modell aus Draht oder Holzstàben zu basteln, zum Beispiel. Aber
vielleicht hat ja jemand von euch Lust und Zeit, sich theoretisch mit
der Sache zu befassen. Oder kann mir dazu irgendeinen Rat geben.
Das würde mich sehr freuen.
Viele Grüße
Oliver
 

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#1 yae9911
27/03/2008 - 06:58 | Warnen spam
On 26 Mrz., 18:05, Oliver wrote:
Hallo,
ich bin kein Matheschüler, oder -student oder Mathematiker, nur
interessierter Laie. Darum kann es sein, dass ich mich bei meinem
Problem unklar oder falsch ausdrücke.
Ich weiss nicht, ob und wie ich Bilder hinzufügen kann, dann muß es
eben ohne gehen.

Ich suche das Polyeder mit den folgenden Eigenschaften:
-Das Kantenskelett ist homöomorph zu dem Graphen mit dieser
Adjazenzmatrix :

0110010
1010001
1101010
0010110
0001011
1011101
0100110

Der Graph ist asymmetrisch und selbstdual (wenn nicht, hab ich die
Adjazenzmatrix falsch geschrieben)

- Alle Kanten des Polyeders berühren die Einheitskugel
- Die Punkte, wo die Kanten die Kugelflàche berühren, haben ihren
Schwerpunkt im Ursprung.

Wie finde ich heraus, wie dieses Polyeder genau aussieht? (Ich möchte
es nàmlich gerne bauen)

Einen Anhaltspunkt habe ich bei Wikipedia gefunden:
"Any convex polyhedron can be distorted into a canonical form, in
which a midsphere or intersphere exists tangent to every edge, such
that the average position of these points is the center of the sphere,
and this form is unique up to congruences.

If we reciprocate such a polyhedron about its intersphere, the dual
polyhedron will share the same edge-tangency points and so must also
be canonical; it is the canonical dual, and the two together form a
canonical dual compound."
(aus dem Artikel "Dual polyhedron")

Das bedeutet (da der obige Graph selbstdual ist), dass das gesuchte
Polyeder auch selbstdual ist, in dem Sinne, das die Duale kongruent
sind.

Weiter komme ich aber nicht. Natürlich könnte ich auch versuchen, das
Problem irgendwie experimentell zu lösen, also zu versuchen, ein
Modell aus Draht oder Holzstàben zu basteln, zum Beispiel. Aber
vielleicht hat ja jemand von euch Lust und Zeit, sich theoretisch mit
der Sache zu befassen. Oder kann mir dazu irgendeinen Rat geben.
Das würde mich sehr freuen.
Viele Grüße
Oliver




Zuerst mal ausrechnen, wieviele Flaechen und Kanten das Ding hat.

Ecken + Flaechen = Kanten + 2 gibt 7 Flaechen und 12 Kanten.

Ist also eines von den Polyedern mit einer gleichen Zahl von Ecken und
Flaechen.
Die sind schon mal gezaehlt worden: http://www.research.att.com/~njas/sequences/A002856

Eine Klassifizierung, wieviele Polyeder mit gegebener Ecken- und
Kantenzahl findet man auf
http://home.att.net/~numericana/data/polyhedra.htm

Es gibt also insgesamt 34 7-Flaecher, und von denen 8 Stueck 7
Eckpunkte haben. In der Wikipedia sind alle 34 dargestellt:
http://en.wikipedia.org/wiki/Heptahedron
Der dort angegeben Link auf "Polyhedra with 4-7 Faces" von Steven
Dutch
http://www.uwgb.edu/dutchs/symmetry/poly4-7f.htm
zeigt die sog. Schlegel-Netze, wobei der fuer Dich interessante Fall
unter "7-hedra with 6 or 7 vertices" dargestellt ist. In Deinem
Polyeder gibt es 1 Eckpunkt mit 5 Kanten, 1 Eckpunkt mit 4 Kanten und
5 Eckpunkte mit 3 Kanten. Mit ein bisschen Nachzaehlen passt entweder
das Bild rechts aussen in der ersten Reihe oder das mittlere Bild in
der unteren Reihe. Die Randflaechen sind also entweder 3 Vierecke und
4 Dreiecke oder 1 Fuenfeck, 1 Viereck und 5 Dreiecke . In der
Wikipedia-Tabelle gibt es 5 Polyeder mit der ersten und 2 Polyeder
mit der zweiten Flaechenausstattung. Nur fuer
http://en.wikipedia.org/wiki/Image:Heptahedron25.GIF bzw.
http://upload.wikimedia.org/wikiped...dron25.GIF laesst
sich eine passende Kantenzuordnung entsprechend Deiner Tabelle finden
("Pyramidenspitze=6, Punkt rechts aussen=3, dann "Grundflaeche" links
rum 2, 7, 5, 4 (verdeckter Punkt hinten) und noch der "Zwischenpunkt"
1.

Wie Du die Eckpunkte im Raum verteilst, bliebt Deiner Kreativitaet
ueberlassen - viel Spass dabei.

Etwas systematischer kann man mit der Tabelle auf der Michon-Webseite
suchen:
http://home.att.net/~numericana/answer/polyhedra.htm , dort ca. in der
Mitte der Seite, nach dem Titel "Types of polyhedra named after a
polygon". Die Tabelle zeigt aber nur einige Spezialfaelle.

Hugo Pfoertner

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