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Pythagoras für Flächen

05/07/2011 - 12:32 von Ernst Sauer | Report spam
Hallo,

wenn ich eine Ebene in einem ràumlich gedrehten KoSy habe,
dann kann ich die projizierten Flàchen Ax, Ay, Az berechnen.
Für die Gesamtflàche gilt offensichtlich A²=Ax²+Ay²+Az².

Kann man das sofort erkennen bzw. einfach beweisen oder gibt es
dafür einen bekannten mathematischen Satz?

Mit Gruß
E.S.
 

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#1 Norbert Dragon
05/07/2011 - 15:52 | Warnen spam
* Ernst Sauer schreibt:

wenn ich eine Ebene in einem ràumlich gedrehten KoSy habe,
dann kann ich die projizierten Flàchen Ax, Ay, Az berechnen.
Für die Gesamtflàche gilt offensichtlich A^2=A_x^2+A_y^2+A_z^2.

Kann man das sofort erkennen bzw. einfach beweisen oder gibt es
dafür einen bekannten mathematischen Satz?



Ein p-Spat mit Kantenvektoren t_1, ..., t_p definiert einen Vektor

t_1 v ... v t_p ( statt v sollte hier das Keil-Zeichen \wedge stehen)

im p-fach antisymmetrischen Grassmann-Produkt. Das ist der zu p-Dichten
duale Vektorraum der linearen Abbildungen, die p-Dichten omega auf den
omega-Inhalt des p-Spats abbilden

t_1 v ... v t_p : omega |--> omega(t_1, ..., t_p)

Das p-fach antisymmetrische Grassmann-Produkt eines euklidischen Raumes
ist ein Euklidischer Raum (es gilt also der von Dir beobachtete Satz des
Pythagoras) mit Làngenquadrat

(t_1 v ... v t_p)^2 = det g ,

wobei die Matrixelemente von g die Skalarprodukte der Kantenvektoren
sind

g_ij = t_i * t_j , i,j aus {1,...,p} .

Wurzel(det g) ist die metrische Größe (für p=2 die Flàchengröße) des
p-Spats.

Der für alle p (kleiner gleich Dimension des einbettenden Euklidischen
Raumes) gültige Sachverhalt wird für p=2 und dim =3 mit dem
Kreuzprodukt der Kantenvektoren u und v eines Parallelogramms erfaßt.
u x v ist dual zu Flàchenstromdichten j in dem Sinn, daß es j linear auf
den Strom j * (u x v) durch das Parallelogramm abbildet. Die Lànge von
u x v ist die Flàchengröße des Parallelogramms, ihr Quadrat betràgt

(u x v)^2 = u^2 v^2 - (u*v)^2 = det g

Seite 18 ff

http://www.itp.uni-hannover.de/~dragon/stonehenge/rech.pdf

Aberglaube bringt Unglück

www.itp.uni-hannover.de/~dragon

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