QM Zustand aus ham. Oszillator Eigenzuständen

17/09/2009 - 01:36 von Tobias Baumann | Report spam
Guten Abend (oder besser Nacht)

Ich gehe gerade den Schwabl durch und stehe màchtig auf dem Schlauch.
Folgendes steht in der 7. Auflage auf S. 56:

(Man beachte: Ich bin nicht so geübt in der Bra- und Ket Schreibweise.
Falls ich da einen Fehler mache wàre es nett mich darauf hinzuweisen :)).

Es wird ein beliebiger Zustand definiert mit der Eigenschaft

a|phi> = x |phi>

Dabei ist a der Vernichtungsoperator und x eine beliebige komplexe Zahl
außer der 0.

Jetzt möchte ich diesen Zustand nach den Eigenzustànden |psi_n> des
harmonischen Oszillators entwickeln. Dies würde ich, da die |psi_n> ein
Orthonormalsystem bilden, mittels

|phi> = sum_n <psi_n|phi> |psi_n> (*)

machen. Daher hab ich erstmal <psi_n|phi> berechnet und ich komme wie im
Schwabl geschrieben auf

<psi_n|phi> = x^n/sqrt(n!) <psi_0|phi>

Dies kann ich nun oben in (*) einsetzen und erhalte (der Faktor C dient
hinterher zum Normieren)

|phi> = C sum_n x^n/sqrt(n!) <psi_0|phi> |psi_n> = C sum_n (xa)^n/n!
<psi_0|phi> |psi_0>

(Ich hoffe man kann es einigermaßen lesen.)

Das wàre nun mein Ergebnis. Der Schwabl kommt jedoch auf

|phi> = C sum_n (xa)^n/n! |psi_0> (**)

sprich der Faktor <psi_0|phi> ist aus unbeschriebenen Gründen 1. Das
kann ich jedoch nicht nachvollziehen.

Da der Schwabl konsequent mit (**) weiter rechnet, kann ich mir gut
vorstellen dass ich etwas übersehen habe und nicht dass ein Fehler im
Buch vorliegt.

Was vielleicht noch eine Möglichkeit wàre ist aus a|phi> = x |phi>
direkt eine DGL herzuleiten und dann direkt prüfen ob <psi_0|phi> = 1
gilt. Als normierte Lösung für |phi> würde ich erhalten

phi(y) = pi^-(1/4) exp[-1/2 (y-x)^2]

Allerdings habe ich kein Plan wie ich das Skalarprodukt

<psi_0|phi> = pi^-1/2 int exp[(-2y^2 + 2yx - x^2)/2] dy

ausrechnen soll (zu allen Überfluss ist x ja auch noch komplex) und
hoffe daher auf eine plausiblere Erklàrung.

Ich hoffe man kann nachvollziehen was ich meine.

Schon mal vielen Dank.

Gruß Tobias
 

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#1 Norbert Dragon
17/09/2009 - 12:05 | Warnen spam
* Tobias Baumann schreibt:

Dies kann ich nun oben in (*) einsetzen und erhalte (der Faktor C dient
hinterher zum Normieren)

|phi> = C sum_n x^n/sqrt(n!) <psi_0|phi> |psi_n> = C sum_n (xa)^n/n!
<psi_0|phi> |psi_0>



Das wàre nun mein Ergebnis. Der Schwabl kommt jedoch auf

|phi> = C sum_n (xa)^n/n! |psi_0> (**)




Mit einem anderen Faktor C. Die Normierungsbedingung legt Dein

C_Baumann <psi_0|phi> = C_Schwabl

fest. Deine Betrachtung stimmt mit der von Schwabl überein.

Aberglaube bringt Unglück

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