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Quadrat/Kubikzahl-Arithmetik

01/07/2012 - 09:07 von Ivo Siekmann | Report spam
Kann man ein Zahlensystem auf Quadrat- oder Kubikzahlen aufbauen? Dann
wuerde man nicht 100 sagen, sondern z.B. 1^3 + 2^3 + 3^3 + 4^3. Ein
bekanntes Maerchen hiesse "Schneewittchen und die 4^2-3^2 Zwerge".

Wie aufwaendig waere es, jede natuerliche Zahl durch Summen und
Differenzen von Quadratzahlen, Kubikzahlen oder gar beliebigen Potenzen
der Form m^n darzustellen?

Behauptung: Jede natuerliche Zahl laesst sich durch Summen und
Differenzen von hoechstens M(n) Termen der Form m^n darstellen (n fest,
m beliebige natuerliche Zahl). Die Zahl M(n) haengt nur vom Exponenten,
nicht aber von der darzustellenden Zahl ab.

Ich kenne eine Loesung dieser Aufgabe, die im Wesentlichen auf linearer
Algebra basiert, deshalb ein Tipp, der in diese Richtung fuehrt: Stelle
die Unbekannte X im Polynomring Q[X] durch eine Linearkombination der
Polynome

{ (X+k)^n | k = 0, ..., n } = { X^n, (X+1)^n, ..., (X+n)^n }

dar. Wie hilft diese Darstellung von X, die Zahl M(n) abzuschaetzen?
(Zusatzfrage: Warum kann man X stets durch die oben angegebenen Polynome
darstellen?)
 

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#1 Carsten Thumulla
01/07/2012 - 09:36 | Warnen spam
Am 01.07.2012 09:07, schrieb Ivo Siekmann:

Kann man ein Zahlensystem auf Quadrat- oder Kubikzahlen aufbauen? Dann
wuerde man nicht 100 sagen, sondern z.B. 1^3 + 2^3 + 3^3 + 4^3. Ein
bekanntes Maerchen hiesse "Schneewittchen und die 4^2-3^2 Zwerge".



Wenn man Rechenoperationen dazwischenschiebt bleibt die Basis doch die
natürliche Zahl, oder?


Carsten
"Man muß lange in der deutschen Nachkriegsgeschichte suchen, um ein noch
kompletteres und verantwortungsloseres politisches Versagen zu
entdecken, als Bundeskanzlerin Merkels bedingungslose Kapitulation beim
gefühlten siebenundneunzigtausendsten „Krisengipfel“ in Brüssel."
Joachim Steinhövel

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