Quadratquersumme und Quersummenquadrat

21/06/2008 - 17:31 von Egon Schmid | Report spam
Es gibt viele Zahlen mit der verblüffenden Eigenschaft, dass das Quadrat
der Quersumme gleich der Quersumme des Quadrates ist:

Bei Zahlen unter 100 sind dies 0, 1, 2, 3, 10, 11, 12, 13, 20, 21, 22,
30, 31

z.B. 31 hat die Quersumme 4
31*31 = 961, die Quersumme von 961 ist 16 oder 4*4

Beim Rechnen mit Zahlen bis zu 100 Millionen ist aufgefallen, dass keine
Zahl, die die Ziffer 4 oder höher besitzt, diese Eigenschaft erfüllt.
Also sind nur die Ziffern 0 bis 3 erlaubt, und die Quersumme der Zahl
muss relativ klein sein, d.h. kleiner als sqrt(2*9*n).

Fast alle Zahlen, die diese beiden Eigenschaften erfüllen, erfüllen auch
die Eigenschaft Quadratquersumme=Quersummenquadrat.

Die Zahl 23 hat diese Eigenschaft nicht, denn 23*23R9, die Quersumme
von 529 ist nicht 25, aber dennoch eine Quadratzahl (16).

Làsst sich beweisen, dass es keine Zahl gibt, mit der Ziffer 4 oder
größer, die die beschriebene Eigenschaft besitzt?

Anmerkung: Es ist nur eine Zahlenspielerei, sie bringt nicht viel, aber
dennoch eine verblüffende Erkenntnis.

Viele Grüße

Egon Schmid
 

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#1 news.chello.at
21/06/2008 - 20:41 | Warnen spam
Hallo,

was jetzt kommt, ist kein wirklicher beweis, aber eine meiner Meinung nach
doch recht anschauliche Begrüdung.

Spielen wir das ganze mal für dreistellige Zahlen durch: 100*a + 10*b + c
Zuerst die Quersumme: a + b + c
Und davon das Quadrat: a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc

andererseits bildet man zuerst das Quadrat: 10000 a^2 + 1000 * 2ab + 100 b^2
+ 100 * 2ac + 10 * 2bc + c^2
davon die Quersumme - und jetzt kommts: unter der Annahme, daß weder a^2,
b^2, c^2 oder 2ab oder 2ac oder 2bc zweistellig sind -:
a^2 + b^2 + c^2 + 2ab +2ac + 2bc
Man sieht also, daß unter den genannten Voraussetzungen das ganze auf jeden
Fall passen muß.
Ist nàmlich einer der genannten terme zweistellig, so ist der Beitrag zur
Summe nicht der zweistellige Wert, sondern wirder nur deren Quersumme, was
auf jeden Fall weniger ist. Bsp: ist a = 4, dann wird im ersten Fall
tatsàchlich 4^2 in der Summe addiert. Im zweiten fall aber teilt sich der
Summand in seine Quersumme 1 + 6=7 auf.
Für jeden der aufgelistetn Ausdrücke, der zweistellig ist, wird die Summe im
zweiten Fall echt kleiner.

Allgemein: Ist die Zahl n+1-stellig in der form
a_0 + 10 a_1 + 100 a_2 + 1000 a_3 + ... + 10^n a_n,
dann muß für alle i von 0 bis 2n+2 gelten:
die summe von k=0 bis i von a_k*a_(i-k) muß einstellig bleiben.

zB verstößt ein einziges 4 in der Zahl schon gegen diese Bedingung, da
4^2 zweistellig ist.
Außerdem dürfen nicht eine 2 sowie eine 3 vorkommen, da 2* (2*3) = 12 auch
schon zweistellig ist.
Kommt also eine 3 vor, so dürfen außer dieser einen 3 sonst nur einser und
nullen vorkommen.
Auch wenn keine 3 vorkommt, so dürfen auch nur wenige 2er vorkommen, da sie
sich schnell zu einer Zahl > 9 aufsummieren.

Mir fehlt leider noch der Formalismus um meine Vorstllungen von dem ganzen
vernünftig ausdrücken zu können. Aber es scheint auf jeden Fall eine
Interessante Sache zu sein.
Wegen der Anmerkung es sei bloß eine Spielerei. Man stelle sich nur vor,
jemand hàtte Gauß gesagt, die Sache mit den Primzahlen ist ja nur eine
Spielerei die nicht viel brint und er hàtte drauf gehört,

Viele Grüße
Reinhard Gruber


"Egon Schmid" schrieb im Newsbeitrag
news:g3j6pk$pgf$01$
Es gibt viele Zahlen mit der verblüffenden Eigenschaft, dass das Quadrat
der Quersumme gleich der Quersumme des Quadrates ist:

Bei Zahlen unter 100 sind dies 0, 1, 2, 3, 10, 11, 12, 13, 20, 21, 22, 30,
31

z.B. 31 hat die Quersumme 4
31*31 = 961, die Quersumme von 961 ist 16 oder 4*4

Beim Rechnen mit Zahlen bis zu 100 Millionen ist aufgefallen, dass keine
Zahl, die die Ziffer 4 oder höher besitzt, diese Eigenschaft erfüllt.
Also sind nur die Ziffern 0 bis 3 erlaubt, und die Quersumme der Zahl muss
relativ klein sein, d.h. kleiner als sqrt(2*9*n).

Fast alle Zahlen, die diese beiden Eigenschaften erfüllen, erfüllen auch
die Eigenschaft Quadratquersumme=Quersummenquadrat.

Die Zahl 23 hat diese Eigenschaft nicht, denn 23*23R9, die Quersumme von
529 ist nicht 25, aber dennoch eine Quadratzahl (16).

Làsst sich beweisen, dass es keine Zahl gibt, mit der Ziffer 4 oder
größer, die die beschriebene Eigenschaft besitzt?

Anmerkung: Es ist nur eine Zahlenspielerei, sie bringt nicht viel, aber
dennoch eine verblüffende Erkenntnis.

Viele Grüße

Egon Schmid

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