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Quadratwurzel aus komplexer Zahl "ganzzahlig komplex"

13/02/2016 - 01:41 von Stephan Gerlach | Report spam
Wenn man natürliche Zahlen quadriert, kommen wieder natürliche Zahlen
raus, die man Quadratzahlen nennt:
1² = 1
2² = 4
3² = 9
4² = 16
usw. Kennt man die Quadratzahlen, kann man ihre Quadratwurzel bilden:
sqrt(1) = 1
sqrt(4) = 2
sqrt(9) = 3
sqrt(16) = 4
usw. Das alles weiß jedes Kind. Insbesondere gibt es eine relativ simple
Methode, um zu prüfen, ob eine natürlichen Zahl n eine ganzzahlige
Quadratwurzel hat: Man probiert einfach hinreichend viele Zahlen k aus
und guckt, ob k² = n ist.

Wie ist die Sache aber im Komplexen? D.h. gibt es eine Methode, auf
einfache Weise zu "sehen", ob eine ganzzahlige komplexe Zahl
(algebraisch gesprochen: aus dem Ring Z[i]) auch eine ganzzahlige
Quadratwurzel aus Z[i] hat?
Z.B. ist
sqrt(3+4i) = 2+i
sqrt(5+12i) = 3+2i
sqrt(15+8i) = 4+i.

(Der Einfachheit halber habe ich immer nur die "positive" Quadratwurzel
angegeben.)

Es scheint so zu sein, daß für ein z aus Z[i] auch sqrt(z) aus Z[i] ist,
wenn Re(z) und Im(z) (Realteil und Imaginàrteil) Katheten eines
pythagoràischen Tripels sind. Dabei kommt es aber offenbar auf die
Reihenfolge der Katheten an; man kann bei den 3 Beispielen *nicht* Re(z)
und Im(z) vertauschen, ohne die ganzzahlige Eigenschaft der
Quadratwurzel zu verlieren.

Dabei dürfen Re(z) und Im(z) kein ggT (größter gemeinsamer Teiler)
haben, der *keine* Quadratzahl ist.
Bsp.:
sqrt(6+8i) = sqrt(2)*sqrt(3+4i)
kann nicht ganzzahlig sein, wenn sqrt(3+4i) ganzzahlig ist.
Ursache: ggT(6,8) = 2 ist keine Quadratzahl.

Evtl. kann man zeigen, daß tatsàchlich für eine bestimmte Klasse
pythagoràischer-Tripel-Katheten obiges gilt(?).

Was dann noch unklar wàre: Ist die
pythagoràische-Tripel-Katheten-Eigenschaft notwendige Bedingung dafür,
daß sqrt(z) ganzzahlig komplex ist?
Oder gibt es noch andere z, die nicht diese Eigenschaft haben, für die
trotzdem sqrt(z) aus Z[i] ist?



Eigentlich sollte Brain 1.0 laufen.


gut, dann werde ich mir das morgen mal besorgen...
(...Dialog aus m.p.d.g.w.a.)
 

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#1 Robin Koch
13/02/2016 - 03:42 | Warnen spam
Am 13.02.2016 um 01:41 schrieb Stephan Gerlach:

Insbesondere gibt es eine relativ simple
Methode, um zu prüfen, ob eine natürlichen Zahl n eine ganzzahlige
Quadratwurzel hat: Man probiert einfach hinreichend viele Zahlen k aus
und guckt, ob k² = n ist.

Wie ist die Sache aber im Komplexen? D.h. gibt es eine Methode, auf
einfache Weise zu "sehen", ob eine ganzzahlige komplexe Zahl
(algebraisch gesprochen: aus dem Ring Z[i]) auch eine ganzzahlige
Quadratwurzel aus Z[i] hat?



Zumindest gibt es eine endliche Methode die mit dem oben genannten
Ausprobieren vergleichbar ist.

sqrt(3+4i) = 2+i
sqrt(5+12i) = 3+2i
sqrt(15+8i) = 4+i.

(Der Einfachheit halber habe ich immer nur die "positive" Quadratwurzel
angegeben.)

Es scheint so zu sein, daß für ein z aus Z[i] auch sqrt(z) aus Z[i] ist,
wenn Re(z) und Im(z) (Realteil und Imaginàrteil) Katheten eines
pythagoràischen Tripels sind.



Andersrum wird auf jeden Fall schon mal ein Schuh draus:

z^2 = (a + bi)^2
= a^2 + 2abi - b^2
= a^2-b^2 + 2abi
= (a+b)(a-b) + 2abi

Testen wir Re(z^2) und Im(z^2) auf Pythagoras:

(a^2-b^2)^2 + (2ab)^2
= a^4 - 2*a^2*b^2 + b^4 + 4*a^2*b^2
= a^4 + 2*a^2*b^2 + b^4
= (a^2 + b^2)^2

sehen wir, dass sie in der Tat die Katheten eines pythagoràischen Tripel
bilden. (Verallgemeinert reicht es, dass ihrer Betràge die Katheten
eines pythagoràischen Tripel bilden.)

Aber:

Dabei kommt es aber offenbar auf die Reihenfolge der Katheten an; man
kann bei den 3 Beispielen *nicht* Re(z) und Im(z) vertauschen, ohne
die ganzzahlige Eigenschaft der Quadratwurzel zu verlieren.



Eine Einschrànkung an Im(z^2) ergibt sich direkt aus obigen, nàmlich, dass

Im(z^2) = 2ab

gerade sein muss.

Weitere Einschrànkungen lassen sich bestimmt aus dieser Darstellung
ableiten. Ich will an dieser Stelle nur meine oben postulierte Prüfung
skizzieren:

Es soll z e C auf die "Quadratzahleigenschaft" geprüft werden.

Wenn z eine "Quadratzahl" ist gibt es a,b e Z mit

Re(z) = (a+b)(a-b) und
Im(z) = 2ab

Wir untersuchen also für jeden Teiler d von Im(z)/2, ob gilt:

Re(z) = (d+Im(z)/(2d)) * (d-Im(z)/(2d))

Gibt es einen Teiler d der diesen Test erfüllt, gilt:

z = d + Im(z)/(2d)*i

Beispiel:

z = 5 + 12i

Teiler von 6 = 12/2: 1,2,3,6

d = 1: (1+6)*(1-6) = 7*(-5) = -35 = 5 = Re(z)? f
d = 2: (2+3)*(2-3) = 5*(-1) = - 5 = 5 = Re(z)? f
d = 3: (3+2)*(3-2) = 5* 1 = 5 = 5 = Re(z)? w
d = 6: (6+1)*(6-1) = 7* 5 = 35 = 5 = Re(z)? f

Es gilt also:

z = (3 + 2i)^2

Robin Koch

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