Quadratzahlen

12/11/2008 - 22:46 von Jutta Gut | Report spam
Hallo!

Wie kann man drei Quadratzahlen finden, die eine arithmetische Folge bilden,
wie z.B. 1, 25, 49 oder 49, 289, 529? Gibt es eine allgemeine Formel dafür?
Gibt es auch làngere arithmetische Folgen, die aus Quadratzahlen bestehen?

Grüße
Jutta
 

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#1 Jan Fricke
12/11/2008 - 23:16 | Warnen spam
Jutta Gut wrote:
Hallo!

Wie kann man drei Quadratzahlen finden, die eine arithmetische Folge
bilden, wie z.B. 1, 25, 49 oder 49, 289, 529? Gibt es eine allgemeine
Formel dafür? Gibt es auch làngere arithmetische Folgen, die aus
Quadratzahlen bestehen?



Hallo Jutta,
das wàre eine schöne Klausuraufgabe für den Zahlentheorie-Kurs ;-)

Wir suchen ganzzahlige Lösungen von a^2+b^2=2c^2. Dazu lösen wir das
ganze erst einmal rational, dann können wir durch c^2 teilen:

x^2 + y^2 = 2. (Kreisgleichung!)

So eine Gleichung löst man mit der Sekantenmethode: Man sieht die Lösung
(1,1), und dann hat die Sekante durch jede andere rationale Lösung und
(1,1) einen rationalen Anstieg t, also Ansatz:
x = 1 + s, y = 1 + t * s.
Das ergibt:
(1 + s)^2 + (1 + t * s)^2 = 2
<==> s * (2 + s + 2 * t + t^2 * s) = 0
==> s = - 2 * (1 + t)/(1 + t^2)
==> x = (t^2 - 2t - 1)/(t^2 + 1), -y = (t^2 + 2t - 1)/(t^2 + 1).
Dabei sind nur eine Lösung unter den Tisch gefallen, nàmlich die für
t=oo. (Die kommt nachher aber wieder rein.)

Jetzt suchen wir alle ganzzahligen Lösungen. Dazu setzen wir t=p/q (da
erscheint t=oo als 1/0 wieder) und erhalten:

a = k * (p^2 - 2pq - q^2),
b = k * (p^2 + 2pq - q^2),
c = k * (p^2 + q^2).

Hierbei ist k eine rationale Zahl, aber
ggT(p^2 - 2pq - q^2, p^2 + 2pq - q^2) | 4pq,
d.h. für teilerfremdes p und q kann der ggT höchstens ein Teiler von 4
sein. Man überprüft schnell, dass es nur zwei Möglichkeiten gibt: p und
q sind ungerade, dann ist der ggT 2, d.h. k ist halbzahlig, und in allen
anderen Fàllen ist der ggT 1, also ist k ganzzahlig.

Also: denke Dir zwei ganz beliebige teilerfremde Zahlen aus, z.B. 4 und
7, und Du erhàltst:
a = 23, b = 89, c = 65,
und tatsàchlich: 23^2, 65^2 und 89^2 bilden eine arithmetische Folge.

Deine letzte Frage beantwortet das natürlich noch nicht.



Viele Grüße Jan

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