Quasiimpuls bei Elektronen im Festkörper

28/05/2013 - 11:12 von christopherkluger | Report spam
Hey,

ich habe eine Verstàndnisfrage zum Quasiimpuls.
Gitterschwingungen (Phononen) tragen ja einen sog. Quasiimpuls, da der tatsàchliche Impuls der Atome die diese Schwingung bilden Null ist. Das kann man sich ja auch wunderbar vorstellen als hin- und herschwingende Atome in Normalkoordinaten.

Bei Elektronen in einem (periodischen) Festkörper spricht man nun aber auch von einem Quasiimpuls. Nehmen wir mal das Standardbeispiel von Elektronenbewegungen in einem periodischen Potential. Dies kann man beschreiben, indem man von freien Elektronen ausgeht, die an den Gitterplàtzen gebeugt werden falls die Bragg-Bedingung erfüllt ist, also der Impuls der Elektronen gleich einem reziproken Gittervektor ist. Da man ja von Elektronen ausgeht die sich frei durch das Gitter bewegen können, muss es sich doch bei "dem Impuls" in der Dispersionsrelation um den richtigen Impuls der Elektronen handeln?! Wieso spricht man hier trotzdem immer von Quasiimpuls (oder Kristallipmpuls)? Oder bezieht sich das gar nicht auf den Impuls der Elektronen?

Beste Grüße,
Chris.
 

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#1 Roland Franzius
28/05/2013 - 11:40 | Warnen spam
Am 28.05.2013 11:12, schrieb :
Hey,

ich habe eine Verstàndnisfrage zum Quasiimpuls. Gitterschwingungen
(Phononen) tragen ja einen sog. Quasiimpuls, da der tatsàchliche
Impuls der Atome die diese Schwingung bilden Null ist. Das kann man
sich ja auch wunderbar vorstellen als hin- und herschwingende Atome
in Normalkoordinaten.

Bei Elektronen in einem (periodischen) Festkörper spricht man nun
aber auch von einem Quasiimpuls. Nehmen wir mal das Standardbeispiel
von Elektronenbewegungen in einem periodischen Potential. Dies kann
man beschreiben, indem man von freien Elektronen ausgeht, die an den
Gitterplàtzen gebeugt werden falls die Bragg-Bedingung erfüllt ist,
also der Impuls der Elektronen gleich einem reziproken Gittervektor
ist. Da man ja von Elektronen ausgeht die sich frei durch das Gitter
bewegen können, muss es sich doch bei "dem Impuls" in der
Dispersionsrelation um den richtigen Impuls der Elektronen handeln?!
Wieso spricht man hier trotzdem immer von Quasiimpuls (oder
Kristallipmpuls)? Oder bezieht sich das gar nicht auf den Impuls der
Elektronen?



System in einem endlichen Volumen tragen keinen Impuls im Sinne des
Generators der Translation.

Stattdessen wird die zweite Bedeutung des Impulses in der
"Impulsdarstellung freier Teilchen" übertragen. Das ist der Vektor der
Eigenwerte k in

psi_k = e^(i k x)

von (-id/x).

Im Fall der Elektronen arbeitet man üblicherweise mit einer
Torusgeometrie periodischer Randbedingungen, die gegenüber freien
Elektronen nur die Diskretisierung der k-Werte zum reziproken Gitter
abàndert, der gesamte Fourierzirkus existiert aber in unverànderter Form:

Freie Teilchen, Eigenzustànde |k>, diskret,
Energie E_k = hquer omega_k
und für quasifreie Elektronen gilt

omega_k = hquer^2/2m k^2

Nach dem Blochschen Theorem kann man nun aber die Eigenfunktionen als
Produkt ebener Wellen e^(i k'x ) mit einer gitterperiodischen Funktion
u_(n, k') (x) schreiben, wobei k' nur noch in der Zelle des reziproken
Gitters variiert und das Energieparaboloid k^2 durch Spiegelung in die
Zelle in Bànder (n,k') abgebildet wird.

Die Energieentartung der Bànder an der Zellengrenze, wo die gespiegelten
Teile stetig zusammenhàngen, werden nun durch die Gitterwechselwirkung
mit den Ionenrümpfen wie auch durch die Vielteilchenwechselwirkung
aufgebrochen, so dass getrennte Energiebànder mit Lücken dazwischen
entstehen.

Der Quasiimpuls ist in diesem Bild nur noch eine darstellungstechnische
Reminiszenz und hat außer bei k=0 mit nach oben offener Energieparabel
keine dynamische, sondern nur gruppentheoretischen Bedeutung.

Das ist so àhnlich wie die Bohr- und Drehimpulsklassifzierung der
Zustànde im Atom mit vielen Elektronen:

Der Drehimpuls gehört dort nicht dem einzlenen Teilchen mit Nummer n,
sondern beschreibt nur noch eine fiktive Aufteilung in der am besten
bekannten Wasserstoff-Einteilchen-Basis.


Roland Franzius

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