Randbedingungen der Poisson Gleichung (Elektrostatik)

08/12/2007 - 13:29 von buchstaebchen | Report spam
Hallo,

Nur eine kleine Frage zur Eindeutigkeit des elektrostatischen
Potentials bei vorgegebener Ladungsdichte ho(r) und freien
Randbedingungen.

In der Elektrostatik (Coulomb Eichung) ergibt sich das Potential
Phi(r) ja bekanntlich als Lösung der Poisson-Gleichung

\Delta Phi(r) = ho(r)

versehen mit gewissen, physikalisch motivierten Randbedingungen.
Ist die Ladungsdichte endlich und verschwindet ausserhalb einer
kompakten Teilmenge des R^3 so verlangt man vernünftigerweise das
Verschwinden des Elektrischen Feldes im Unendlichen, das Coulomb-
Integral existiert

\Phi(r) = \int d^3r' \frac{ho(r')}{|r-r'|}

und ist wegen der Unbeschrànktheit nichtkonstanter harmonischer
Funktionen (d.h. die Lösungen der Laplace-Gleichung) bis auf eine
Konstante die einzige Lösung welche die Randbedingungen erfüllt (d.h.
im Unendlichen verschwindet).

Soweit alles klar.

Was aber nun, wenn die Ladungsdichte ho(r)
(1) nicht ausserhalb einer kompakten Teilmenge verschwindet
(2) so beschaffen ist, dass die Gesamtladung zwar endlich, aber das
Coulomb Integral nicht konvergent ist (z.B. ho(r)=exp(-r^2)
r^{-5/2} )
(3) ho(r) weder im Unendlichen verschwindet, noch die Gesamtladung
endlich ist?


In einfachen Fàllen (z.B. unendlich langer Stromfaden, unendliche
Platte) erhàlt man die Standardlösung über Symmetriebetrachtung und
der daraus folgende vereinfachten Poisson-Gleichung, deren Lösungen
der homogenen Gleichung ebenso symmetrisch zu sein haben (und daher
zumeist Konstanten :).

Was aber wenn keine Symmetrie vorhanden ist, mithin die Lösungen der
homogenen Gleichung alle harmonischen Funktionen einschliesst?
Eine spezielle Lösung ergàbe sich wohl aus der Entwicklung nach einem
geeigneten Funktionensystem, allerdings ist mir nicht klar, wie
sinnvolle Randbedingungen im Unendlichen zu formulieren sind.

obiges Beispiel : ho(r)=exp(-r^2) r^{-5/2}
Welche Randbedingung ist hier sinnvoll?

Oder sind solche Ladungsdichten von vornherein als unphysikalisch
auszuschliessen?

Für jeden Hinweis meinen Denkfehler zu lokalisieren bin ich dankbar!

Beste Gruesse,
Martin
 

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#1 Norbert Dragon
08/12/2007 - 15:51 | Warnen spam
* Martin Buchstàbchen hat

Nur eine kleine Frage zur Eindeutigkeit des elektrostatischen
Potentials bei vorgegebener Ladungsdichte ho(r) und freien
Randbedingungen.

In der Elektrostatik (Coulomb Eichung) ergibt sich das Potential
Phi(r) ja bekanntlich als Lösung der Poisson-Gleichung

\Delta Phi(r) = ho(r)



Delta Phi = - rho

versehen mit gewissen, physikalisch motivierten Randbedingungen.

Was aber nun, wenn die Ladungsdichte ho(r)
(1) nicht ausserhalb einer kompakten Teilmenge verschwindet
(2) so beschaffen ist, dass die Gesamtladung zwar endlich, aber das
Coulomb Integral nicht konvergent ist (z.B. ho(r)=exp(-r^2)
r^{-5/2} )
(3) ho(r) weder im Unendlichen verschwindet, noch die Gesamtladung
endlich ist?



Gleichung 5.52

http://theory.gsi.de/~vanhees/faq/relativity/node58.html

stellt die Werte jeder Funktion Phi, die in einem Volumen V zweifach
stetig differenzierbar ist, dort durch den Wert von Delta Phi in V und
die Werte von Phi auf dem Rand von V dar. Falls Delta Phi singulàr ist,
muß man einen kleinen Bereich aus V ausschneiden. Dadurch vergrößert
sich natürlich der Rand, auf dem Phi vorzugeben ist.

P.S. Ach wie gut, daß niemand weiß, daß ich Rumpelstielzchen heiß.

Aberglaube bringt Unglück

www.itp.uni-hannover.de/~dragon

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