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Randwertproblem gewoehnliche DGL

27/02/2008 - 11:27 von denis.besak | Report spam
Hallo!

Ich hoffe mir kann jemand bei folgendem Problem weiterhelfen: Ich hab
bei einem physikalischen Problem die DGL

i q/(2p*r) (M^2 - \Delta ) \vec f (\vec b) + g^2 C*T*D(m*b) \vec
f(\vec b) = -2i abla \delta(\vec b) (1)

wobei \vec b ein 2D-Vektor ist, b sein Betrag und m,M,q,p,r,C,T
Konstanten. D(x) ist eine Funktion, deren explizite Gestalt fuer die
Frage unwichtig ist. Der Laplaceoperator \Delta enthaelt die
Ableitungen bzgl. der Komponenten von \vec b.
Die Autoren argumentieren zunaechst, dass

\vec f(\vec b) = h(b)\vec b (2)

gelten muss, wobei h(b) eine skalare Funktion ist, die nur noch vom
Betrag b abhaengt. Dann setzen sie dies in (1) ein und bekommen

i q/(2*p*r) (M^2 - \partial^2_b - 3/b * \partial_b )h(b) + g^2
C*T*D(m*b) h(b) = 0. (3)

Das Ganze soll mit Randbedingungen geloest werden. Im Limes b \to
\infty soll h(b) = 0 sein und im Limes b \ to 0 soll gelten (um das
Verhalten zu verstehen muss man D(x) fuer kleine x entwickeln)

h(b) = 2p*r/(\pi *q*b^2) + O(1). (4)

Die eigentlich interessante Groesse, die man ausrechnen will, stellt
sich als

\lim_{b \to 0} Im h(b) (5)

raus, folglich ist h eine komplexwertige Funktion, von der ich nachher
nur den Imaginaerteil brauche.

Meine Fragen nun:

- Wie kann man begruenden, dass nach Einsetzen von (2) in (1) die
Deltadistribution auf der rechten Seite wegfaellt? Ich seh das
irgendwie nicht, es muss aber wohl trivial sein, denn die Autoren
sagen nichts dazu. Gerade wegen der zu erwartenden Singularitaet fuer
b \to 0 (siehe Randbedingung (5) ) finde ich es komisch, dass die
weggelassen wird.
- Viel wichtiger ist folgendes: Wie loese ich ueberhaupt ein
Randwertproblem mit derartigen Randbedingungen numerisch? Ich kenne
nur Probleme, wo man an einem bestimmten Punkt einen festen
Funktionswert vorschreibt und nicht wo ein gewisses asymptotisches
Verhalten vorgeschrieben ist. Das Vorgehen der Autoren ist reichlich
unklar, sie schreiben was davon, dass sie eine exponentielle fallende
Loesung mit beliebiger Normierung bestimmen und diese durch Skalierung
auf das geforderte asymptotische Verhalten bringen. Was damit gemeint
sein soll ist mir nicht klar.
- Was mich auch irritiert ist, dass die Loesung komplex ist. Wie kann
ich damit numerisch umgehen? Ich kann ja nicht aus (3) schliessen,
dass wenn die ganze Funktion h diese Gleichung erfuellt, dass dann
auch Real- und Imaginaerteil separat dieselbe Gleichung erfuellen.
Dazu schreiben die Autoren ebenfalls gar nichts.


Fuer hilfreiche Tipps waere ich sehr dankbar!

Gruss,
Denis Besak
 

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#1 Roland Franzius
27/02/2008 - 17:04 | Warnen spam
schrieb:
Hallo!

Ich hoffe mir kann jemand bei folgendem Problem weiterhelfen: Ich hab
bei einem physikalischen Problem die DGL

i q/(2p*r) (M^2 - \Delta ) \vec f (\vec b) + g^2 C*T*D(m*b) \vec
f(\vec b) = -2i abla \delta(\vec b) (1)



Als ohne überflüssige Konstanten mit vektorwertigen Größen x, f, g

( m^2 +T ) f(x) + i g(|x|) = d delta(x)

dh du suchst die Lösung der massiven Wellengleichung zu omega=0 für ein
komplexwertiges Vektorfeld mit Quadrupolquelle im Urspung.

Dabei ist x\in R^2 und vermutlich f,g sind vermutlich auch 2-Vektoren
wegen


wobei \vec b ein 2D-Vektor ist, b sein Betrag und m,M,q,p,r,C,T
Konstanten. D(x) ist eine Funktion, deren explizite Gestalt fuer die
Frage unwichtig ist. Der Laplaceoperator \Delta enthaelt die
Ableitungen bzgl. der Komponenten von \vec b.
Die Autoren argumentieren zunaechst, dass

\vec f(\vec b) = h(b)\vec b (2)

gelten muss, wobei h(b) eine skalare Funktion ist, die nur noch vom
Betrag b abhaengt. Dann setzen sie dies in (1) ein und bekommen

i q/(2*p*r) (M^2 - \partial^2_b - 3/b * \partial_b )h(b) + g^2
C*T*D(m*b) h(b) = 0. (3)

Das Ganze soll mit Randbedingungen geloest werden. Im Limes b \to
\infty soll h(b) = 0 sein und im Limes b \ to 0 soll gelten (um das
Verhalten zu verstehen muss man D(x) fuer kleine x entwickeln)

h(b) = 2p*r/(\pi *q*b^2) + O(1). (4)

Die eigentlich interessante Groesse, die man ausrechnen will, stellt
sich als

\lim_{b \to 0} Im h(b) (5)

raus, folglich ist h eine komplexwertige Funktion, von der ich nachher
nur den Imaginaerteil brauche.

Meine Fragen nun:

- Wie kann man begruenden, dass nach Einsetzen von (2) in (1) die
Deltadistribution auf der rechten Seite wegfaellt? Ich seh das
irgendwie nicht, es muss aber wohl trivial sein, denn die Autoren
sagen nichts dazu. Gerade wegen der zu erwartenden Singularitaet fuer
b \to 0 (siehe Randbedingung (5) ) finde ich es komisch, dass die
weggelassen wird.




Die Lösung mit den Randbedingungen für x->oo hat natürlicherweise eine
Singularitàt im Urspung. Die Potenz des Abfalls in 1/|x| in der
Mutlipolentwicklung regelt die Struktur der Singularitàt in x=0 über die
zur Potenz in |x| zugelàssigen komplexen Vektorfelder auf dem
Einheitskreis.

Die rechte Seite ist die Inhomogenitàt ist ja nur das Symbol für die
verallgemeinerte Lösung der inhomgenen Gleichung. Vorgabe als
Vektorknàuel d delta legt ein zweifaches Produkt von Dipolen in x und
y-Richtung fest, also einen singulàren Quadrupol als Quelle.


- Viel wichtiger ist folgendes: Wie loese ich ueberhaupt ein
Randwertproblem mit derartigen Randbedingungen numerisch? Ich kenne
nur Probleme, wo man an einem bestimmten Punkt einen festen
Funktionswert vorschreibt und nicht wo ein gewisses asymptotisches
Verhalten vorgeschrieben ist. Das Vorgehen der Autoren ist reichlich
unklar, sie schreiben was davon, dass sie eine exponentielle fallende
Loesung mit beliebiger Normierung bestimmen und diese durch Skalierung
auf das geforderte asymptotische Verhalten bringen. Was damit gemeint
sein soll ist mir nicht klar.




Numerisch wàhlt man eine die Randbedingungen asymptotisch bei 0 und oo
erfüllende Funktion u = |x|^a /(1+ |x|^b) v(|x|)) und schreibt einen
Picard-Lindelöfschen Verbesserungsprozess mit Runge-Kutta in jedem Punkt
auf.

- Was mich auch irritiert ist, dass die Loesung komplex ist. Wie kann
ich damit numerisch umgehen? Ich kann ja nicht aus (3) schliessen,
dass wenn die ganze Funktion h diese Gleichung erfuellt, dass dann
auch Real- und Imaginaerteil separat dieselbe Gleichung erfuellen.
Dazu schreiben die Autoren ebenfalls gar nichts.




Da steht ein "i" in der Gleichung, dh Realteil und Imaginàrteil koppeln
über eine feste Funktion im Raum D miteinander. Da sollte man eine
Vorstellung haben, was die beiden Felder bedeuten, denn eins wirkt
offenbar jeweils als Quelle des anderen.

Oft handelt es sich dann um Auslenkung und Geschwindigkeit einer
Feldgröße, die man zu einer komplexen Größe zusammenfassen kann, wenn
die Feldenergie eine Summe der beiden Quadrate ist.


Roland Franzius

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