Rationale Funktion unstetig in (0,0)

01/03/2011 - 12:35 von Rainer Rosenthal | Report spam
Von Roland Franzius wurde im Thread "diese Newsgroup"
eine interessante Übungsaufgabe gestellt. Er schrieb:

RF:
RF: Zur Erholung eine kleine Übungsaufgabe:
RF:
RF: Bestimme eine rationale Funktion R^2 -> R, die auf allen Strahlen s\in
RF: R, s-> (s,s) stetig, und dennoch im Urspung (0,0) unstetig ist.
RF:

Die bisherigen Lösungsversuche waren nicht zufriedenstellend, was
daran liegen könnte, dass die Aufgabe nicht hinreichend pràzise
gestellt war:

1. Soll der Wertebereich der gesuchten rationalen Funktion tatsàchlich
R sein? Oder sind auch Polstellen erlaubt? Rationale Funktionen f
besitzen die Abbildungsvorschrift f(x) = P(x)/Q(x) mit Polynom-
funktionen P und Q. Falls Q reelle Nullstellen besitzt, ist der
Wertebereich nicht R, sondern es gibt auch oo als Funktionswert.

2. Das Wort "Strahl" hat mir gesagt, was gemeint ist, aber die
Formulierung "s -> (s,s)" verstehe ich nicht. Hermann
Jurksch und sind uns einig, dass "x -> (x,m*x)" mit einem
reellen, den jeweiligen Strahl bestimmenden, Faktor m gemeint
sein muss. Außerdem gibt es noch den Strahl "x->(0,x)".


Bislang liegen zwei Lösungsversuche vor.

(L1) Hermann Jurksch schrieb am 27.2.2011:

HJ:
HJ: Nimm doch f(x,y) = xy/(x^2+y^2).
HJ:
HJ: Für y = m*x wird das zu m*x^2/((1+m^2)*x^2) = m /(1+m^2)
HJ: und für x = 0 zu 0.
HJ: D.h. die Einschrànkung von f auf einen Strahl durch den Ursprung
HJ: ist konstant und in (0,0) stetig ergànzbar, f dagegen ist im
HJ: Ursprung unstetig.
HJ:

Mir schien das als Lösung ungeeignet, weil es zwar für jeden Strahl
eine stetige Ergànzung gibt, aber kein Funktionswert f(0,0) existiert,
der alle Strahlen stetig ergànzt. Somit sind die Einschrànkungen von
f auf die Strahlen nicht "stetig" sondern lediglich "stetig ergànzbar".
Ich halte die Forderung "stetig" aber für den Hauptwitz der Aufgabe.
Zwar erfüllt Hermanns Funktion die Bedingung, dass alle Funktions-
werte in R liegen, aber sie ist nicht in allen Punkten von R^2 definiert.

(L2) Rainer Rosenthal schrieb am 28.2.2011:

RR:
RR: f(x,y) = [2*x^2*y - x^4] / y^2
RR:
RR: f(0,0) = 0
RR:

Das ist ganz nett, gefàllt aber Hermann nicht. Er bemàngelt zu Recht,
dass für den Strahl y = 0*x eine Unstetigkeit bei x=0 vorliegt.
Ich habe es also nur geschafft, für alle Strahlen _bis_auf_einen_
stetige Einschrànkungen der Funktion f zu bekommen. Zudem taucht bei
dieser Funktion auch der nicht zu R gehörige Wert oo auf.
Mein heutiger schneller Versuch, mich mit f(x,0) = 0 aus der Affàre
zu ziehen, darf nicht als gelungen angesehen werden, weil dafür nicht
mehr der Name "rationale Funktion" passt sondern bestenfalls der
Name "stückweise rationale Funktion".

Hallo Roland, kannst Du bitte ein paar klàrende Worte schreiben?

Gruß,
Rainer Rosenthal
r.rosenthal@web.de
 

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#1 Roland Franzius
01/03/2011 - 15:15 | Warnen spam
Am 01.03.2011 12:35, schrieb Rainer Rosenthal:

Hilferuf angekommen, muss ich mal auf den anderen nntp-Server
umschalten, auf t-online ist fast ganz dsm gefiltert. Aber t-online ist
ja Ende Màrz dann vorbei.

Von Roland Franzius wurde im Thread "diese Newsgroup"
eine interessante Übungsaufgabe gestellt. Er schrieb:

RF:
RF: Zur Erholung eine kleine Übungsaufgabe:
RF:
RF: Bestimme eine rationale Funktion R^2 -> R, die auf allen


Strahlen s\in
RF: R, s-> (s,s) stetig, und dennoch im Urspung (0,0) unstetig ist.
RF:

Die bisherigen Lösungsversuche waren nicht zufriedenstellend, was
daran liegen könnte, dass die Aufgabe nicht hinreichend pràzise
gestellt war:

1. Soll der Wertebereich der gesuchten rationalen Funktion tatsàchlich
R sein? Oder sind auch Polstellen erlaubt? Rationale Funktionen f
besitzen die Abbildungsvorschrift f(x) = P(x)/Q(x) mit Polynom-
funktionen P und Q. Falls Q reelle Nullstellen besitzt, ist der
Wertebereich nicht R, sondern es gibt auch oo als Funktionswert.

2. Das Wort "Strahl" hat mir gesagt, was gemeint ist, aber die
Formulierung "s -> (s,s)" verstehe ich nicht. Hermann
Jurksch und sind uns einig, dass "x -> (x,m*x)" mit einem
reellen, den jeweiligen Strahl bestimmenden, Faktor m gemeint
sein muss. Außerdem gibt es noch den Strahl "x->(0,x)".





Tut mir leid, da gehörte natürlich für "alle Strahlen" die Übersetzung hin
s-> s( cos a, sin a)

Bislang liegen zwei Lösungsversuche vor.

(L1) Hermann Jurksch schrieb am 27.2.2011:

HJ:
HJ: Nimm doch f(x,y) = xy/(x^2+y^2).
HJ:
HJ: Für y = m*x wird das zu m*x^2/((1+m^2)*x^2) = m /(1+m^2)
HJ: und für x = 0 zu 0.
HJ: D.h. die Einschrànkung von f auf einen Strahl durch den Ursprung
HJ: ist konstant und in (0,0) stetig ergànzbar, f dagegen ist im
HJ: Ursprung unstetig.
HJ:

Mir schien das als Lösung ungeeignet, weil es zwar für jeden Strahl
eine stetige Ergànzung gibt, aber kein Funktionswert f(0,0) existiert,
der alle Strahlen stetig ergànzt. Somit sind die Einschrànkungen von
f auf die Strahlen nicht "stetig" sondern lediglich "stetig ergànzbar".
Ich halte die Forderung "stetig" aber für den Hauptwitz der Aufgabe.
Zwar erfüllt Hermanns Funktion die Bedingung, dass alle Funktions-
werte in R liegen, aber sie ist nicht in allen Punkten von R^2 definiert.



Die Formulierung der Aufgabe aus dem Handgelenk làßt da natürlich
Interpretationsspielraum, ich dachte aber natürlich an eine Funktion,
die auf jedem Strahl denselben Grenzwert hat, es soll ja verblüffend sein.

Jeder sollte natürlich als Beispiel für den Unterschied von Stetigkeit
im R^2 und partieller Stetigkeit in den beiden Variablen die Funktion
(x,y)-> xy/(x^2+y^2) kennen

(L2) Rainer Rosenthal schrieb am 28.2.2011:

RR:
RR: f(x,y) = [2*x^2*y - x^4] / y^2
RR:
RR: f(0,0) = 0
RR:

Das ist ganz nett, gefàllt aber Hermann nicht. Er bemàngelt zu Recht,
dass für den Strahl y = 0*x eine Unstetigkeit bei x=0 vorliegt.
Ich habe es also nur geschafft, für alle Strahlen _bis_auf_einen_
stetige Einschrànkungen der Funktion f zu bekommen. Zudem taucht bei
dieser Funktion auch der nicht zu R gehörige Wert oo auf.
Mein heutiger schneller Versuch, mich mit f(x,0) = 0 aus der Affàre
zu ziehen, darf nicht als gelungen angesehen werden, weil dafür nicht
mehr der Name "rationale Funktion" passt sondern bestenfalls der
Name "stückweise rationale Funktion".

Hallo Roland, kannst Du bitte ein paar klàrende Worte schreiben?



Die gesuchte Funktion ist eine rationale Funktion mit Nullstelle im
Urspung im Nenner, wo sie ergànzend den Wert 0 zugewiesen bekommt.

Sie geht auf jedem Strahl durch den Urspung gegen denselben Grenzwert 0
und nimmt dennoch in jeder offenen Umgebung des Ursprungs von 0
verschiedene Werte an.

Das sind so Funktionen, die dem Begriff vom Zeichnen stetiger Funktionen
im Augsburger Paralleluniversum Abhilfe schaffen und Anlass zur
Anwendung sauberer Definitonen der Stetigkeits- und
Differenzierbarkeitsbegriffe in dim > 1 geben sollen.


Roland Franzius

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