Re: Das Kalenderblatt 101109

18/11/2010 - 21:35 von Nomen Nescio | Report spam
WM <mueckenh@rz.fh-augsburg.de> writes:


On 18 Nov., 17:40, Nomen Nescio <nob...@dizum.com> wrote:

WM <mueck...@rz.fh-augsburg.de> writes:
> Die Deltafolge nimmt ihren Grenzwert bei endlichen Indizes an!

Hatten Sie nicht vor kurzem behauptet, die Grenzwerte lim_{i-->oo}
delta_{i,k} f r gegebene k (Beispiele 0, 100, 100^(9^(9^(9^(9^9)))))
existierten nicht? Wie k nnen die Deltafolgen jetzt pl tzlich "ihren"
(nicht existierenden) Grenzwert annehmen?

Oder ist Ihr Argument hypothetisch: Angenommen, der Grenzwert
lim_{y-->oo} delta_{x,y} existiere und sei gleich 0. Dann ...



Zur Erinnerung: Es ging um die Summe aller Limites 0. CS hatte einen
Widerspruch mit diskreten Elementen konstruiert, der die Behauptung
LimCard =/= Card Lim zu stützen schien. In dieser Konstruktion musste
ein Fehler sein. Ich habe nicht sofort gesehen, wo er steckt.



Entschuldigung, wenn ich nochmals nachfrage. Mir ist das noch nicht
ganz klar: Existieren die Grenzwerte lim_{y-->oo} delta_{x,y} für x 1, 100 etc. (für alle x e |N) oder existieren sie nicht? (Ich würde
Ihre Antwort jetzt so interpretieren, daß sie doch existieren, bin mir
aber nicht sicher. Deshalb würde ich mich über eine etwas direktere
Antwort freuen.)



> lim_{y-->oo} delta_{x,y} = 0 kann nur gelten, wenn es ein endliches
> Y(x) gibt, so dass
> lim_{y-->Y(x)} delta_{x,y} = delta_{x,Y(x)} = 0
> Dieses Y > x kann von x abh ngen, z. B. x + 1 oder 2x sein.
> Bilden wir nun die Summe ber zwei verschiedene deltas:
> delta_{x,Y(x)} + delta_{x',Y'(x')}, so k nnen wir Y(x) und Y'(x')
> durch das Gr ere von beiden ersetzen. Bilden wir die Summe ber drei,
> vier, deltas, so k nnen wir die Y durch das gr te ersetzen.
> Diesen Prozess setzen wir mit Hilfe von Induktion fort, so dass wir
> die Summe ber alle deltas bilden: sum_{x=1}^oo delta_{x,Y(x)}

Ist zwar f r's Argument wohl nicht relevant. Aber mich w rde doch
interessieren, wie Sie hier "mit Hilfe von Induktion" zu einer
unendlichen Summe gelangen. K nnen Sie das etwas genauer ausf hren?



Mit Y(x) = x+1 ist die Summe
sum_{x=1}^n delta_{x,Y(n)} definiert.
sum_{x=1}^1 delta_{x,Y(1)} ist ebenfalls definiert.
Also ist auch die Summe
sum_{x=1}^(n+1) delta_{x,Y(n+1)} für jedes x in |N definiert.



Danke. Verstehe ich aber noch nicht ganz. "Mit Y(x) = x+1 ist die
Summe sum_{x=1}^n delta_{x,Y(n)} definiert" und "Mit Y(x) = x+1 ist
die Summe sum_{x=1}^n delta_{x,Y(n)} für jedes x in |N definiert"
würde wohl dasselbe bedeuten?

Falls nicht, was meinen Sie genauer mit "die Summe sum_{x=1}^(n+1)
delta_{x,Y(n+1)} [ist] für jedes x in |N definiert"? (x ist hier ja
ein Laufindex.)



> Jedes Y darf zwar von x abh ngen, aber wenn wir die Summe ber
> *alle* x in |N bilden (und wenn alle x aktual existieren, *so dass
> keines fehlt* - das ist die Voraussetzung f r das Argument!), dann
> kann es kein endliches Y geben, das gr er als jedes endliche x
> ist. Also wird diese Summe nicht 0 sein.

M te man dann nicht radikaler sagen: Also kann es eine solche Summe
nicht geben? Denn:

> Die Voraussetzung, dass x alle natürlichen Zahlen ausschöpft,
> verhindert also, dass es ein endliches Y gibt, das größer als alle x
> ist. Es gibt zwar das omega, aber wie oben gezeigt wurde, dürfen wir
> hier für Y nicht omega wàhlen.

Wo "oben"? Ich finde die Stelle in diesem Thread nicht, wo Sie das
gezeigt h tten. Vielleicht können Sie mir helfen, die Stelle zu
finden?



Gern. Es gibt zwei Gründe:
1) Ich habe gezeigt, dass jeder Grenzwert lim_{y-->oo} delta_{x,y} = 0
auch für ein endliches y in |N, y > x angenommen wird. Also *brauchen*
wir kein unendliches Y.
2) Das Kronecker-delta ist nur für endliche Indexpaare definiert. Also
dürfen wir kein unendliches Y wàhlen.

Wie ich jetzt sehe, habe ich mich etwas ungenau ausgedrückt. Ich hàtte
schreiben sollen: wie oben gezeigt wurde, dürfen wir hier für Y nicht-
omega, also eine Zahl < oo wàhlen.



Verstanden. Sie wollten also nur sagen, daß Sie 1) gezeigt haben.

Was 2) angeht: Würden Sie sagen, daß "1/n" für ein unendliches Y
"definiert" ist? Falls ja, wàre die Definition etwa "1/oo lim_{n-->oo}1/n"? Wenn ich Sie weiter oben richtig verstanden habe,
dürften wir jedenfalls "1/oo = 0" *schreiben*, und damit meinen
lim_{1n-->oo}1/n = 0. Richtig?

MfG
 

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#1 WM
18/11/2010 - 22:51 | Warnen spam
On 18 Nov., 21:35, Nomen Nescio wrote:

Entschuldigung, wenn ich nochmals nachfrage. Mir ist das noch nicht
ganz klar: Existieren die Grenzwerte lim_{y-->oo} delta_{x,y} f r x > 1, 100 etc. (f r alle x e |N) oder existieren sie nicht?



Die Funktion delta_{x,y} ist nur auf den endliche Zahlen x, y
definiert.
Den Grenzwert für x --> oo kann man definieren, aber es ist sinnlos,
weil derselbe Wert schon im Endlichen angenommen wird,
Meine Aussage, der Grenzwert existiere nicht, war aber falsch -
hervorgerufen durch ein Paradoxon (LimCard =/= Card Lim), für das ich
zunàchst keine andere Erklàrung sah.


>> > lim_{y-->oo} delta_{x,y} = 0 kann nur gelten, wenn es ein endliches
>> > Y(x) gibt, so dass
>> > lim_{y-->Y(x)} delta_{x,y} = delta_{x,Y(x)} = 0
>> > Dieses Y > x kann von x abh ngen, z. B. x + 1 oder 2x sein.
>> > Bilden wir nun die Summe ber zwei verschiedene deltas:
>> > delta_{x,Y(x)} + delta_{x',Y'(x')}, so k nnen wir Y(x) und Y'(x')
>> > durch das Gr ere von beiden ersetzen. Bilden wir die Summe ber drei,
>> > vier, deltas, so k nnen wir die Y durch das gr te ersetzen.
>> > Diesen Prozess setzen wir mit Hilfe von Induktion fort, so dass wir
>> > die Summe ber alle deltas bilden: sum_{x=1}^oo delta_{x,Y(x)}

>> Ist zwar f r's Argument wohl nicht relevant. Aber mich w rde doch
>> interessieren, wie Sie hier "mit Hilfe von Induktion" zu einer
>> unendlichen Summe gelangen. K nnen Sie das etwas genauer ausf hren?

> Mit Y(x) = x+1 ist die Summe
> sum_{x=1}^n delta_{x,Y(n)} definiert.
> sum_{x=1}^1 delta_{x,Y(1)} ist ebenfalls definiert.
> Also ist auch die Summe
> sum_{x=1}^(n+1) delta_{x,Y(n+1)} f r jedes x in |N definiert.

Danke. Verstehe ich aber noch nicht ganz. "Mit Y(x) = x+1 ist die
Summe sum_{x=1}^n delta_{x,Y(n)} definiert" und "Mit Y(x) = x+1 ist
die Summe sum_{x=1}^n delta_{x,Y(n)} f r jedes x in |N definiert"
w rde wohl dasselbe bedeuten?



Nein. Y(n) ist größer als jedes der summierten x.

Falls nicht, was meinen Sie genauer mit "die Summe sum_{x=1}^(n+1)
delta_{x,Y(n+1)} [ist] f r jedes x in |N definiert"? (x ist hier ja
ein Laufindex.)



Ich meine, dass der Index jede natürliche Zahl von 1 an durchlaufen
kann. Aber ich hàtte besser n geschrieben.

>> > Die Voraussetzung, dass x alle nat rlichen Zahlen aussch pft,
>> > verhindert also, dass es ein endliches Y gibt, das gr er als alle x
>> > ist. Es gibt zwar das omega, aber wie oben gezeigt wurde, d rfen wir
>> > hier f r Y nicht omega w hlen.

>> Wo "oben"? Ich finde die Stelle in diesem Thread nicht, wo Sie das
>> gezeigt h tten. Vielleicht k nnen Sie mir helfen, die Stelle zu
>> finden?

> Gern. Es gibt zwei Gr nde:
> 1) Ich habe gezeigt, dass jeder Grenzwert lim_{y-->oo} delta_{x,y} = 0
> auch f r ein endliches y in |N, y > x angenommen wird. Also *brauchen*
> wir kein unendliches Y.
> 2) Das Kronecker-delta ist nur f r endliche Indexpaare definiert. Also
> d rfen wir kein unendliches Y w hlen.

> Wie ich jetzt sehe, habe ich mich etwas ungenau ausgedr ckt. Ich h tte
> schreiben sollen: wie oben gezeigt wurde, d rfen wir hier f r Y nicht-
> omega, also eine Zahl < oo w hlen.

Verstanden. Sie wollten also nur sagen, da Sie 1) gezeigt haben.



Ja.

Was 2) angeht: W rden Sie sagen, da "1/n" f r ein unendliches Y
"definiert" ist?




Das verstehe ich jetzt nicht. 1/n ist nur für endliche n definiert.
Aber der Grenzwert 0 existiert und wird von keinem Folgenglied
angenommen.

Falls ja, w re die Definition etwa "1/oo > lim_{n-->oo}1/n"? Wenn ich Sie weiter oben richtig verstanden habe,
d rften wir jedenfalls "1/oo = 0" *schreiben*, und damit meinen
lim_{1n-->oo}1/n = 0. Richtig?



Euler hàtte es noch so ausgedrückt. Im Grunde unterliegt die
Schreibweise
allein der Konvention. Aber wir würden das heute nicht mehr tun, um
auszudrücken, dass oo keine natürliche Zahl ist.

Gruß, WM

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