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Re: Der Punkt

29/09/2015 - 00:10 von ram | Report spam
Detlef Müller <lef-65@arcor.de> fragte nach:

Dimensionen (Mehrzahl) eines einzelnen Punktes



Manche Mengen bezeichnet man als »Ràume«. Deren Elemente
nennt man dann »Punkte«. Ich nehme an, daß die allgemeinste
Struktur eines Raumes eine Topologie ist (daher ja auch der
Name »Topologie«). Dann sind die allgemeinsten »Punkte« die
Punkte eines topologischen Raumes.

Im allgemeinen hat ein Punkt gar keine Eigenschaften, die er
hat, wenn man ihn isoliert - unabhàngig von der Struktur des
ihn enthaltenden Raumes - betrachtet. Alle Eigenschaften von
Punkten topologischer Ràume ergeben sich im allgemeinen alleine
durch die Topologie, welche eine Eigenschaft des ganzen Raumes
ist, nicht eines einzelnen Punktes.

Nun kann es in einem Einzelfall natürlich einmal sein, daß
man einen Raum betrachtet, in dem jeder einzelne Punkt
seinerseits ein Vektorraum ist (oder - allgemeiner -
irgendetwas, dem man eine »Dimension« zuspricht). (Man denke
an Funktionenràume, in denen jeder Punkt eine Funktion ist.)
In solch einem speziellen Fall hat jeder Punkt dieses Raumes
dann eine Dimension. Im einem noch spezielleren Fall könnte
jeder Punkt ein Nullvektorraum sein, dann hàtte er die
Dimension 0; dies muß aber nicht so sein!

Ein Beispiel für einen solchen Raum wàre ein /Tangentialbündel/.
Ein Tangentialbündel kann als eine Mannigfaltigkeit
aufgefaßt werden, deren jeder Punkt ein Vektorraum ist, aber
dieser kann dabei durchaus eine Dimension haben, welche größer
als 0 ist!


Eine Gerade hat die (Einzahl!) Dimension 1 und ein
Punkt die Dimension 0.



Das kann man wohl auch so sagen, wenn man an Vektorràume
denkt. Aber man nennt WIMRE auch Elemente eines
topologischen Raumes manchmal »Punkte«, und in topologischen
Ràumen ist wohl im allgemeinen keine Dimension definiert,
jedenfalls nicht solch eine Vektorraum-Dimension.

Neben den Dimensionen eines Vektorraums (allgemeiner
vielleicht: eines Moduls über einem Ring? Hat das auch schon
eine Dimension? Vgl.: de.wikipedia.org/wiki/Dimension_eines_Moduls)
gibt es aber auch noch andere Art von »Dimensionen«, wie
etwa die Hausdorff-Dimension, die topologische Dimension,
die kleine oder große induktive Dimension,
die Krulldimension oder die Lebesgue'sche Überdeckungsdimension.

Wenn ein Punkt ein Vektorraum ist, dann kann man ihm
wahrscheinlich neben der Vektorraum-Dimension auch noch die
eine oder andere jener Dimensionen (Mehrzahl) zuordnen,
etwa eine Hausdorff-Dimension (die dann vermutlich mit der
Vektorraum-Dimension übereinstimmt). Insofern könnte es in
speziellen Fàllen Punkte mit mehreren Dimensionen geben.
 

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#1 Jan Fricke
29/09/2015 - 11:43 | Warnen spam
On 29.09.2015 00:10, Stefan Ram wrote:
Das kann man wohl auch so sagen, wenn man an Vektorràume
denkt. Aber man nennt WIMRE auch Elemente eines
topologischen Raumes manchmal »Punkte«, und in topologischen
Ràumen ist wohl im allgemeinen keine Dimension definiert,
jedenfalls nicht solch eine Vektorraum-Dimension.


Es gibt verschiedene Möglichkeiten eine topologische Dimension zu
definieren. Für "gutartige" Ràume stimmen diese Dimensionen überein.

https://de.wikipedia.org/wiki/Induktive_Dimension
https://de.wikipedia.org/wiki/Lebes...sdimension


Viele Grüße Jan

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