Re: Lorentzgruppe

15/02/2008 - 12:43 von roland franzius | Report spam
Da der newsserver.uni-hannover.de Problem hat, Bezug für Re: gekappt


Robert Hartmann schrieb:

[X-Post] de.sci.mathematik; de.sci.physik
[FUP2] de.sci.mathematik

Hallo Mathe-NG,

Vielleicht sollte man auch und im Speziellen
die Physiker von nebenan mit einbinden ...
Hàtte ich auch direkt machen können ... naja ...
Nehmt mir mein unteres fast Full-quote bitte
nicht übel.
Gruß Robert


Hallo Physik-NG,

im Folgenden meine Anfrage, die ich schon in
der Mathe-NG formuliert habe.
Ich hoffe über mein eigenes fast Full-quote, dass
sich kein neuer "Nachrichtenfaden" in der Mathe-NG
erstellt, in den Ihr dann hoffentlich mir erklàrende
Antworten einreihen könnt :-)
Besten Dank, Gruß Robert

Robert Hartmann schrieb:

Hallo zusammen,


[...]

Ich habe eine Frage zum Wikipedia-Artikel über die
Lorentz-Transformation


>






http://de.wikipedia.org/wiki/Lorent...Herleitung





Entsprechende Frage hab ich auch dort auf der Diskussionsseite gestellt.






http://de.wikipedia.org/wiki/Diskussion:Lorentz-Transformation#Definition_und_andere_Herleitung








Dort wird eine Boost-Matrix für den zweidimensionalen
Minkowski-Raum, d.h. eine Zeitkoordinate und eine euklidische Koordinate
aufgebaut.

Mit dem Ergebnis, dass die Boost-Matrix die Form

cosh k -sinh k
-sinh k cosh k

hat, wobei k als ein imaginàrer Drehwinkel interpretiert werden soll.

Nun habe ich an anderen Orten nur Boost-Matrizen, wenn sie mit sinh und
cosh notiert sind, der folgenden Form gesehen

cosh m sinh m
sinh m cosh m

wobei m eine reelle Zahl ist.

http://users.math.uni-potsdam.de/~baer/ElemGeo/skript.pdf
(dort pdf Seite 54)






http://www.itap.physik.uni-stuttgar...ssling.pdf




(dort pdf Seite 8)

Sind die beiden Matrizen gleichwertig (àquivalent)?
Kann jemand vielleicht die Wahl des
negativen sinh motivieren?






Die erzeugende Matrix für den Boost im R^2 der Raum-Zeit {ct,x} ist

b={{0,1},{1,0}}

Exp(k b) = sum k^(2n) b^(2n)/(2n)! + sum k^(2n+1) b^(2n+1)/(2n+1)!
= {{1,0},{0,1}} cosh k + {{0,1},{1,0}} sinh k

Angewandt auf den Vektor {ct,x}
ergibt das

Exp(k b) {ct,x}= {ct cosh k + x sinh k, x cosh k + ct sinh k }

mit cosh k =1/Sqrt(1-v^2/c^2), sinh k = v/c/sqrt(1-v^2/c^2)

Der Boost zu -k ist die inverse Matrix.

Nun kommt es darauf an, was du unter dem Boost verstehst, entweder eine
Koordinatentransformation im Sinne der Ruhekoordinaten des mit
v=c tanh k
bewegten Beobachtes oder einen wirklichen Boost im Laborsystem im Sinne
es Beschelunigungsstoßes, der ein Teilchen von ràumlicher Ruhe v=0 mit
p(t<0)=m(c,0) momentan auf

p'(t>0) = m/sqrt(1-v^2/c^2)(c, v)

beschleunigt.

Die komplexe Analogie zur Drehgruppe ist etwas durchwachsen. Die Drehmatrix

(x,y) -> {{cos a , -sin a},{sin a, cos a} }{x,y}

dreht jeden Vektor im Sinne des aktiven Boosts um den Winkel a im
positiven Drehsinn, als Koordinatentransformation ist demgemàß das neue
System positiv zum alten gedreht. Als Labortransformation durch Drehung
des Labors bei ràumlich fixerter Physik im Labor drehen sich die
Vektoren der physikalischen Objekte dann natürlich im negativen Sinn.

Die formale komplexe algebraische Identitàt zwischen Boost und Drehung
ergibt sich in "imaginàrer Zeit" durch geignete Umformungen

{i ct,x } -> {i ct sinh k + x sinh k, x cosh k, i ct sinh k }
= { i ct cos i k - i x sin i k, x cos i k + ct sin ik }
= {{cos ik, - sin ik },{sin ik, cos ik }} {ict,x}

Das verwischt aber nur den wichtigen Unterschied zwischen der kompakten
(0<k<2pi) euklidischen Gruppe in Raumen mit positiv definiter Metrik
und der nichtkompakten Lorentzgruppe (-oo<k<oo) in der Raum-Zeit mit
indefinitem metrischen Tensor.


Natürlich sind die reellen Untergruppen der SU(2), die Drehungen SO(2)
und die Boosts SO(1,1) nicht àquivalent. Die Drehungen sind orthogonal
unimodular mit U^-1=U^T und komplexen Eigenwerten e^(+-i phi), die
Lorentztransformationen sind hermitesch unimodular mit reellen
Eigenwerten e^(+-k). Der tiefe Zusammenhang ist, dass die SU(2)
tatsàchlich die Lorentzgruppe über R^4=(ct,x,y,z) aus den 3 Boosts in
drei Richtungen und Drehungen umd drei Achsen darstellen kann. Daraus
gewinnt man die elementare und alle anderen Darstellungen der
relativistischen QM für Teilchen mit Spin.


Roland Franzius
 

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#1 Robert Hartmann
17/02/2008 - 21:26 | Warnen spam
Hallo Roland,

roland franzius schrieb:
Da der newsserver.uni-hannover.de Problem hat, Bezug für Re: gekappt



:-) Tücken der Technik :-)


Die erzeugende Matrix für den Boost im R^2 der Raum-Zeit {ct,x} ist

b={{0,1},{1,0}}

Exp(k b) = sum k^(2n) b^(2n)/(2n)! + sum k^(2n+1) b^(2n+1)/(2n+1)!
= {{1,0},{0,1}} cosh k + {{0,1},{1,0}} sinh k



Kannst du hier vielleicht noch ein paar sinngebende Klammern setzen?
Irgendwie steige ich da nicht durch.

Angewandt auf den Vektor {ct,x}
ergibt das

Exp(k b) {ct,x}= {ct cosh k + x sinh k, x cosh k + ct sinh k }

mit cosh k =1/Sqrt(1-v^2/c^2), sinh k = v/c/sqrt(1-v^2/c^2)

Der Boost zu -k ist die inverse Matrix.



Danke :-)

Nun kommt es darauf an, was du unter dem Boost verstehst, entweder eine
Koordinatentransformation im Sinne der Ruhekoordinaten des mit
v=c tanh k
bewegten Beobachtes oder einen wirklichen Boost im Laborsystem im Sinne
es Beschelunigungsstoßes, der ein Teilchen von ràumlicher Ruhe v=0 mit
p(t<0)=m(c,0) momentan auf

p'(t>0) = m/sqrt(1-v^2/c^2)(c, v)

beschleunigt.



mhm, naja geometrisch ... eine Möglichkeit einen Punkt p "zubewegen",
so das die resultierenden Koordinaten des Punktes p' wieder
das Minkowski-Produkt nicht veràndern <p,p> = -1 = <p',p'>

Die komplexe Analogie zur Drehgruppe ist etwas durchwachsen. Die Drehmatrix

(x,y) -> {{cos a , -sin a},{sin a, cos a} }{x,y}

dreht jeden Vektor im Sinne des aktiven Boosts um den Winkel a im
positiven Drehsinn, als Koordinatentransformation ist demgemàß das neue
System positiv zum alten gedreht. Als Labortransformation durch Drehung
des Labors bei ràumlich fixerter Physik im Labor drehen sich die
Vektoren der physikalischen Objekte dann natürlich im negativen Sinn.



ok, soweit klar.



Die formale komplexe algebraische Identitàt zwischen Boost und Drehung
ergibt sich in "imaginàrer Zeit" durch geignete Umformungen

{i ct,x } -> {i ct sinh k + x sinh k, x cosh k, i ct sinh k }
= { i ct cos i k - i x sin i k, x cos i k + ct sin ik }
= {{cos ik, - sin ik },{sin ik, cos ik }} {ict,x}



Bist du dir sicher?

Meinst du evtl:
{i ct,x } -> {i ct cosh k + x sinh k, x cosh k + i ct sinh k }

Es war doch
a cosh(k) = a cos(i k)
a sinh(k) = -(i a) sin(i k)
oder?


Das verwischt aber nur den wichtigen Unterschied zwischen der kompakten
(0<k<2pi) euklidischen Gruppe in Raumen mit positiv definiter Metrik
und der nichtkompakten Lorentzgruppe (-oo<k<oo) in der Raum-Zeit mit
indefinitem metrischen Tensor.



Ich finde es aber interessant zu sehen. Danke dir :-)


Natürlich sind die reellen Untergruppen der SU(2), die Drehungen SO(2)
und die Boosts SO(1,1) nicht àquivalent. Die Drehungen sind orthogonal
unimodular mit U^-1=U^T und komplexen Eigenwerten e^(+-i phi), die
Lorentztransformationen sind hermitesch unimodular mit reellen
Eigenwerten e^(+-k). Der tiefe Zusammenhang ist, dass die SU(2)
tatsàchlich die Lorentzgruppe über R^4=(ct,x,y,z) aus den 3 Boosts in
drei Richtungen und Drehungen umd drei Achsen darstellen kann. Daraus
gewinnt man die elementare und alle anderen Darstellungen der
relativistischen QM für Teilchen mit Spin.



Besten Dank,

Gruß Robert

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