_reale_ quadratische Reste

24/10/2016 - 19:56 von Siegfried Neubert | Report spam
Ich war lange nicht hier und bin zwar selbst (angewandter-)Mathematiker,
habe aber keinen zahlentheoretische Hintergrund.
Außerdem habe ich beruflich eher in IT gemacht als Mathematik.
Aktuell bin ich seit ein paar Jahren Rentner,
mache aber gern noch Mathe. als Hobby:


Es gilt, daß die Anzahl quadratischer Reste von 5*7= 35
gegeben ist durch den Ausdruck (5-1)(7-1)/4= 6.

Wenn man aber die _realen_ quadratischen Reste von 35 abzàhlt
- also alle die a= x^2 mod 35 für x= 1,2,...,35 -
so ergeben sich 12 Werte (ach ja, ich zàhle die Null mit!).
Das liegt daran, das auch nicht zu 5 und 7 teilerfremde Werte dabei mitgezàhlt werden.


Frage_1: Warum definiert man quadratische Rest so - gegen meine Anschauung?


Wenn ich mit quadratischen Resten nun einen Filter konstruieren will,
brauche ich aber die Anzahl der realen quadratischen Reste, um die Filtergüte zu quantifizieren.


Ich habe empirisch folgenden Ausdruck #r(p,n) für die Anzahl der realen quadratischen Rest gefunden:

#r(p,n)= (p*p^n +p+2 +(p-1)*(n mod 2)/(2*(p+1)), p>2, p prim und n e IN
und
#r(2,n)= (2^(n-1) +5 -(n-1) mod 2)/3 wenn p=2

Und allg gilt offenbar für N= p_1^n_1*...*p_m^n_m ist #r(N)=#r(p_1,n_1)*...*#r(p_m,n_m)


Frage_2: Kennt jemand diese Ausdrücke und wo (z.B.) findet man sie dann ggf.?


Kann jemand weiterhelfen? Danke.
 

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#1 Detlef Müller
25/10/2016 - 01:28 | Warnen spam
Am 24.10.2016 um 19:56 schrieb Siegfried Neubert:

Es gilt, daß die Anzahl quadratischer Reste von 5*7= 35
gegeben ist durch den Ausdruck (5-1)(7-1)/4= 6.

Wenn man aber die _realen_ quadratischen Reste von 35 abzàhlt
- also alle die a= x^2 mod 35 für x= 1,2,...,35 -
so ergeben sich 12 Werte (ach ja, ich zàhle die Null mit!).
Das liegt daran, das auch nicht zu 5 und 7 teilerfremde Werte dabei mitgezàhlt werden.

Frage_1: Warum definiert man quadratische Rest so - gegen meine Anschauung?



Ich nehme an, die Bedingung, dass a zum Modul N (hier 35) teilerfremd
sein soll, rührt daher, dass man gewöhnlich an der Multiplikativen
Gruppe von Z modulo N*Z interessiert ist.

Wenn ich mit quadratischen Resten nun einen Filter konstruieren will,
brauche ich aber die Anzahl der realen quadratischen Reste, um die Filtergüte zu quantifizieren.



Das sagt mir nun nichts.


Ich habe empirisch folgenden Ausdruck #r(p,n) für die Anzahl der realen quadratischen Rest gefunden:



was ist n, was ist p?

#r(p,n)= (p*p^n +p+2 +(p-1)*(n mod 2)/(2*(p+1)), p>2, p prim und n e IN


[...]
Damit kann ich nichts anfangen: Oben haben wir den Modul 35 und 12
"real-Reste". Was soll in dem Beispiel n und was p sein?

Im Beispiel gibt es (5-1)/2=2 QR modulo 5 und (7-1)/2=3 QR modulo 7.

"real" sind das modulo 5 die 0, 1, 4 und modulo 7 die 0, 1, 2, 4.

ist a ein "realer QR" a modulo 5*7, so ist sicher a
modulo 5 in {0,1,4} und a modulo 7 in {0,1,2,4}.

Andererseits scheint in diesem Falle auch Umgekehrt
jedes a, das "realer QR" modulo 5 und modulo 7 ist,
auch realer QR modulo 35 zu sein (da nach dem chinesischen
Restsatz alle 3*4 Kombinationen (x,y), x aus {0,1,4}, y aus {0,1,2,4}
genau einem a < 35 entsprechen) -- was erst einmal nur eine
Beobachtung in einem einzigen Fall ist.

Ob man daraus eine allgemeines Argument zumindest für Produkte zweier
verschiedener Primzahlen als Modul werden kann, mag ich zu so spàter
Stunde nicht vermuten :)

Gruß,
Detlef

Dr. Detlef Müller,
http://www.mathe-doktor.de oder http://mathe-doktor.de

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