Rechnen mit Delta Distribution und Kugelkoordinaten

05/02/2008 - 03:37 von Tobias Baumann | Report spam
Guten Abend

Ich habe ein kleines Verstàndnisproblem mit der Deltafunktion in
Kugelkoordinaten.

Nehmen wir einfach mal ein Proton als Punktladung (im Ursprung, sprich
\delta(x - x') = \delta(x)) mit der Ladungsverteilung: ho = e
\delta(r) = e \delta(x)\delta(y)\delta(z). In Kugelkoordinaten lautet
das ganze nun laut Nolting:

ho = e 1/(r'^2 sin \Theta) \delta(r)\delta(\Theta)\delta(\phi)

Ok, nun müsste man ja wenn man über das Volumen integriert einfach die
Gesamtladung e erhalten. Der Normierungsbruch in ho kürzt sich mit der
Jacobideterminante des Volumenintegrals herraus, für die Integration
über die beiden Winkel erhalte ich einfach die 1 weil ich über die 1
Funktion integriere und stehe jetzt nurnoch vor dem integral über r mit


Gesamtladung: Q = e \int_{0}^{\infty} \delta(r) dr (*)

Nun steht im Nolting (Band 3, 8te Auflage, Formel 1.23, direkt vor dem
Kapitel 1.2 Taylor Entwicklung):

int_{a}^{b} \delta(x-x') f(x) dx = 1/2 f(a) für x'=a oder x'=b (**)

Was anschaulich auch Sinn macht wenn ich mir so eine Glockenfunktion als
Deltafunktion anschaue.

Allerdings erhalte ich dann ein Problem bei (*). Hier würde ich mit (**)
erhalten:

Q = e/2

was allerdings nicht sein darf, da die Ladung des Protons nunmal e ist.

Jetzt bin ich mir nicht sicher ob ich (**) überhaupt verwenden darf
(vielleicht weil f(x) schon garnicht für x<r definiert ist, oder weiß
der Geier, ich finde zu der Formel keine bruachbareren Informationen)
oder ob ich die Normierung der Delta Distribution in Kugelkoordinaten
mit dem Faktor 2 noch Normieren soll. Das zweite find ich allerdings
sehr frech, das erste wurde aber bei einer anderen Aufgabe angewendet
(da ging es um Zylinderkoordinaten als ich r, Abstand zur Z-Achse, von 0
bis unendlich integrieren musste).

Ich hoffe mir kann jemand helfen.

Vielen Dank.

Gruß Tobias
 

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#1 roland franzius
05/02/2008 - 06:50 | Warnen spam
Tobias Baumann schrieb:
Guten Abend

Ich habe ein kleines Verstàndnisproblem mit der Deltafunktion in
Kugelkoordinaten.

Nehmen wir einfach mal ein Proton als Punktladung (im Ursprung, sprich
\delta(x - x') = \delta(x)) mit der Ladungsverteilung: ho = e
\delta(r) = e \delta(x)\delta(y)\delta(z). In Kugelkoordinaten lautet
das ganze nun laut Nolting:

ho = e 1/(r'^2 sin \Theta) \delta(r)\delta(\Theta)\delta(\phi)

Ok, nun müsste man ja wenn man über das Volumen integriert einfach die
Gesamtladung e erhalten. Der Normierungsbruch in ho kürzt sich mit der
Jacobideterminante des Volumenintegrals herraus, für die Integration
über die beiden Winkel erhalte ich einfach die 1 weil ich über die 1
Funktion integriere und stehe jetzt nurnoch vor dem integral über r mit


Gesamtladung: Q = e \int_{0}^{\infty} \delta(r) dr (*)

Nun steht im Nolting (Band 3, 8te Auflage, Formel 1.23, direkt vor dem
Kapitel 1.2 Taylor Entwicklung):

int_{a}^{b} \delta(x-x') f(x) dx = 1/2 f(a) für x'=a oder x'=b (**)

Was anschaulich auch Sinn macht wenn ich mir so eine Glockenfunktion als
Deltafunktion anschaue.

Allerdings erhalte ich dann ein Problem bei (*). Hier würde ich mit (**)
erhalten:

Q = e/2

was allerdings nicht sein darf, da die Ladung des Protons nunmal e ist.

Jetzt bin ich mir nicht sicher ob ich (**) überhaupt verwenden darf
(vielleicht weil f(x) schon garnicht für x<r definiert ist, oder weiß
der Geier, ich finde zu der Formel keine bruachbareren Informationen)
oder ob ich die Normierung der Delta Distribution in Kugelkoordinaten
mit dem Faktor 2 noch Normieren soll. Das zweite find ich allerdings
sehr frech, das erste wurde aber bei einer anderen Aufgabe angewendet
(da ging es um Zylinderkoordinaten als ich r, Abstand zur Z-Achse, von 0
bis unendlich integrieren musste).

Ich hoffe mir kann jemand helfen.



Offenbar muss man als Physiker immer diejenige Formel verwenden, die das
gemessene Resultat reproduziert. Mit Nolting Funktionalanalysis zu
lernen ist so gut, wie Bush als Fremdenführer in Arabien zu buchen.

Ein Funktional ist eine lineare Abildung von glatten Funktionen (der
einen Hàlfte des Integranden) in die reellen oder komplexen Zahlen. Die
delta-Distribution im Tràger im Innern eines Intervalls:
delta_x0(f)=f(x0) tut also nichts weiter, als den Wert am Punkt
einzusetzen. Liegt x0 auf dem Rand, ist es nur gallopierender
Schwachsinn, dem delta-Funktional die Hàlfte zuzuweisen, weil dei andere
Hàlfte außen liegt. Der Funktionalkalkül mit Integralen funktioniert nur
für Funktionen f, die auf dem Rand x0 verschwinden.

Auf die delta-Funktion im R^3 angewandt heißt das, dass man daraus keine
delta-Funktion auf R_+ für den Radius machen darf, es sein denn, man
bezieht das Integrationsmaß r^2 dr ein und legt exakt fest, welchen
Testfunktionenraum sphàrisch symmetrischer Funkitonne man damit aus dem
R^3 erbt.


Roland Franzius

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