Reelle Zahlen mit zwei Punkten kompaktifizieren?

26/02/2009 - 12:00 von René Meyer | Report spam
Hallo,

Ich stelle mir gerade folgende Frage: Die Alexandrov-Kompaktifizierung
der reellen Linie gibt, mit einem Punkt bei unendlich, den
topologischen Kreis. Ist es hingegen auch möglich, die reelle Linie
mit zwei Punkten (+unendlich und -unendlich) zu einem kompakten
Intervall zu kompaktifizieren? Eine Abbildung dieses Raums auf das
kompakte Intervall [-pi/2,pi/2] waere ja zB. durch den Arcustangens
gegeben. Oder gibt es da irgendwelche subtilen Probleme mit der
Topologie der Ràume?

Beste Grüße, René.
 

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#1 Ulrich Lange
26/02/2009 - 18:37 | Warnen spam
René Meyer schrieb:

Ich stelle mir gerade folgende Frage: Die Alexandrov-Kompaktifizierung
der reellen Linie gibt, mit einem Punkt bei unendlich, den
topologischen Kreis. Ist es hingegen auch möglich, die reelle Linie
mit zwei Punkten (+unendlich und -unendlich) zu einem kompakten
Intervall zu kompaktifizieren? Eine Abbildung dieses Raums auf das
kompakte Intervall [-pi/2,pi/2] waere ja zB. durch den Arcustangens
gegeben. Oder gibt es da irgendwelche subtilen Probleme mit der
Topologie der Ràume?



Hallo Rene,

ich sehe keine Probleme. IR u {-oo,oo} ist mit der Metrik

d(x,y) = |arctan(x)-arctan(y)|

sogar metrischer Raum (wobei hier arctan(+/-oo) := +/- pi/2)
In metrischen Ràumen ist "kompakt" àquivalent zu "folgenkompakt". Es
genügt also, zu einer beliebigen Folge (x_n)_n aus IR u {-oo,oo} eine
konvergente Teilfolge auszuwàhlen. Dazu muß man eine Fallunterscheidung
machen:

1. Fall:
Die Folge ist "fast" beschrànkt, d.h. es existiert ein M>0 so daß
|x_n| <= M für alle bis auf endlich viele n. Die Folge enthàlt also
sicher eine beschrànkte Teilfolge. Diese beschrànkte Teilfolge enthàlt
ihrerseits aber eine in IR mit Standardmetrik konvergente Teilfolge und
diese konvergiert aufgrund der Stetigkeit des Arcustangens auch in
IR u {-oo,oo}

2. Fall:
Für alle M>0 existieren unendlich viele n mit |x_n| > M
In diesem Fall können wir induktiv für jedes m e IN einen
Index n(m) finden, so daß:

|x_n(m)| > m und n(m') <> n(m) für alle m' < m.

Die so definierte Teilfolge spalten wir noch auf in

P:={ x_n(m) | x_n(m) > m }
M:={ x_n(m) | x_n(m) < -m }

Mindestens eine der beiden Mengen P und M ist unendlich, d.h. eine
Teilfolge, und diese Teilfolge konvergiert (in der arctan-Metrik)
gegen oo bzw. -oo.



Gruß, Ulrich Lange

(ulrich punkt lange bindestrich mainz at t-online punkt de)

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