Reihenentwicklung von (e^x-x)^2

13/02/2010 - 20:33 von Rainer Rosenthal | Report spam
Im Zuge des Spaziergangs durch das OEIS (Siehe Thema "P = S*S")
bin ich auf diese beiden fast identischen Folgen gestoßen:

A005803: 1, 0, 0, 2, 8, 22, 52, 114, ...
A130102: 1, 0, 2, 2, 8, 22, 52, 114, ...

Die erste ist A005803 Second-order Eulerian numbers: 2^n - 2n
http://www.research.att.com/~njas/sequences/A005803

Die zweite ist A130102 E.g.f.: (e^x-x)^2
http://www.research.att.com/~njas/sequences/A130102

Ich hatte erst auf einen Schreibfehler in A130102 getippt, weil ich
mir nicht vorstellen konnte, dass zwei derart einfach charakterisierte
Folgen sich nur an genau dem einen Index n=2 unterscheiden (es wird
bei n=0 gestartet).
Ich habe es aber nachgeprüft, dass A130102(2)=2 korrekt ist.
Dazu musste ich ja nur die ersten Folgenglieder der Reihe (e^x-x)^2
= (1+x/1!+x^2/2!+...-x)^2 = (1+x^2/2!+x^3/3!+...)*(1+x^2/2!+x^3/3!+...)
= 1 + 0*x^1/1! + 2*x^2/2! + ...) anschauen und die Faktoren von
x^n/n! betrachten (so ist die e.g.f. nàmlich definiert, siehe
http://mathworld.wolfram.com/Expone...ction.html).
Tatsàchlich hat man da: 1, 0, 2, ...

Da die übrigen 31 dargestellten Folgenglieder identisch sind, könnte man
auf ansonsten komplette Gleichheit spekulieren.
Das bedeutet aber, dass die Reihenentwicklung von (e^x-x)^2 gegeben wàre
durch
oo
2 n
/ x \ 2 \ n x
| e - x | = x + > (2 - 2n) * -
\ / / n!
-
n=0

Kann mir jemand helfen, das zu verstehen? Die Reihentrickrechnereien sind
schon so ewig lange her ...

Einen Querverweis von A130102 zu A005803 im OEIS dürfte das allemal wert
sein. Die Notierung von "Sequence in context" soll aufgrund simpler
gliedweiser Vergleicherei zeigen, welche Folgen am nàchsten dran sind an
der gegebenen Folge. Das versagt bei A130102 ganz klàglich, weil gleich zu
Beginn bei n=2 ein krasser "Ausreisser" ist. Aber jammerschade wàre es, wenn
diese total enge Verwandtschaft nicht notiert würde - jetzt, wo ich sie zu-
fàllig entdeckt habe. Natürlich möchjte ich den entsprechenden Nachtrag mit
dem Beweis unterfüttern, dass fast alle Koeffizienten in der Potenzreihen-
entwicklung von (e^x-x)^2 gegeben sind durch a_n = (2^n-2*n)/n!

Damnke und Gruß,
Rainer Rosenthal
r.rosenthal@web.de
 

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#1 Carsten Schultz
13/02/2010 - 20:51 | Warnen spam
Am 13.02.10 20:33, schrieb Rainer Rosenthal:
oo
2 n
/ x \ 2 \ n x
| e - x | = x + > (2 - 2n) * -
\ / / n!
-
n=0

Kann mir jemand helfen, das zu verstehen? Die Reihentrickrechnereien sind
schon so ewig lange her ...



Da ist nicht viel zu tricksen, oder?

(exp(x)-x)^2 = x^2 + exp(2x) - 2x exp(x)
= x^2 + sum_{n>=0} (2x)^n/n! - sum_{n>=0) 2x^{n+1}/n!
= x^2 + sum_{n>=0} 2^nx^n/n! - sum_{n>=1) 2x^{n}/(n-1)!
= x^2 + sum_{n>=0} 2^nx^n/n! - sum_{n>=0) 2nx^{n}/n!
= x^2 + sum_{n>=0} (2^n-2n) x^n/n!

Gruß

Carsten

Carsten Schultz (2:38, 33:47)
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