Restglied einer Taylorreihe

07/02/2008 - 23:35 von Roman Töngi | Report spam
Nach folgendem Restglied kann man ja eine Fehlerabschàtzung
machen:

f^(n+1)(xi)
R_n(x) = --*(x-x_0)^(n+1) , xi zwischen x und x_0
(n+1)!

Wollte dies an der Sinusreihe ausprobieren. Dabei bin ich mir
bei zwei Sachen nicht sicher.

1. Habe folgende Entwicklung vorgenommen:

x - x^3/3! + x^5/5!

also 5-Jet von sin(x) an der Stelle 0.

Ist jetzt das n+1 in R_n(x) mit 6 oder 7 zu setzen?
Bin mir nicht sicher, da das "x^6-Glied" in der Entwicklung nicht vorkommt.


2. Was bedeutet für "geeignetes xi"?
Darf man irgend einen Wert zwischen x und x_0 wàhlen?
Ist es möglich einen Bereich anzugeben, indem man einmal
das xi nahe bei x und das andere mal nahe bei x_0 wàhlt?




Vielen Dank
 

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#1 Norbert Marrek
07/02/2008 - 23:53 | Warnen spam
Roman Töngi schrieb:
Nach folgendem Restglied kann man ja eine Fehlerabschàtzung
machen:

f^(n+1)(xi)
R_n(x) = --*(x-x_0)^(n+1) , xi zwischen x und x_0
(n+1)!

Wollte dies an der Sinusreihe ausprobieren. Dabei bin ich mir
bei zwei Sachen nicht sicher.

1. Habe folgende Entwicklung vorgenommen:

x - x^3/3! + x^5/5!

also 5-Jet von sin(x) an der Stelle 0.

Ist jetzt das n+1 in R_n(x) mit 6 oder 7 zu setzen?
Bin mir nicht sicher, da das "x^6-Glied" in der Entwicklung nicht vorkommt.


2. Was bedeutet für "geeignetes xi"?
Darf man irgend einen Wert zwischen x und x_0 wàhlen?
Ist es möglich einen Bereich anzugeben, indem man einmal
das xi nahe bei x und das andere mal nahe bei x_0 wàhlt?




Vielen Dank



f(x) = f^(0)(x_0)/0!*(x-x_0)^0 + f^(1)(x_0)/1!*(x-x_0)^1 +

+...+ f^(n)(x_0)/n!*(x-x_0)^n + R_n(x)

Du musst also n+1 mit 6 setzen, da du bis n=5 entwickelt hast.

Von xi weiss man nur, dass es irgendwo zwischen x und x_0
liegt.
Für eine Fehlerabschàtzung musst du nun ein xi finden, bei dem
der Absolut-Wert des Restgliedes maximal wird. Dann kann der Fehler
nur kleiner sein.

Aloha,
Norbert

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