reziproke Potenzsummen und Fakultäten

27/02/2009 - 19:43 von buffalo | Report spam
Hallo zusammen,

Ich spiel hier gerade mit ein paar Potenzsummen herum und wollte euch
die teils lustigen Ergebnisse nicht vorenthalten.

Sum_n k^n/n! = e^k, wie bekannt. Was passiert, wenn man im Zàhler n
und k vertauscht?

Sum_n n^k/n! = m*e (das sind Vielfache von e!), mit
k 1 2 3 4 5 6 7
m 1 2 5 15 52 203 877

Weiß wer von euch, was Sum_n n^k/n! mathematisch „bedeutet“?

Ein weiteres Spielchen besteht darin, in Zàhler und Nenner ein wenig
herumzustochern, zB so: Sum_n n^k/(n+k)!

k 0 1 2 3 4
m e-1 1 2e-5 35,5-13e 127e-2071/6

Oder so: Sum_n (n+k-1)!/(n-1)!/(n+k)!

k 0 1 2 3 4 5
m e-1 1 e-2 6-2e 9e-24 120-44e

Der is recht hübsch. Ich hab bloß kein Plan, was die Werte bedeuten.
Ihr dürft ein bisschen spotten: Ich weiß nicht, was ich hier
ausrechne ... ;-)

Viele Grüße Wolfgang.
 

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#1 Rainer Rosenthal
27/02/2009 - 21:04 | Warnen spam
buffalo schrieb:
Sum_n k^n/n! = e^k, wie bekannt. Was passiert, wenn man im Zàhler n
und k vertauscht?



Gute Frage.

Sum_n n^k/n! = m*e (das sind Vielfache von e!), mit
k 1 2 3 4 5 6 7
m 1 2 5 15 52 203 877

Weiß wer von euch, was Sum_n n^k/n! mathematisch "bedeutet"?



Ich dachte, ich könnte Dir das ganz leicht erklàren, aber als
ich nach 10 Minuten immer noch im Kreis herum geràtselt hatte,
bin ich den in solchen Fàllen spektakulàr aussichtsreichen Weg
gegangen und habe (nachdem ich mit Maple Deine Zahlen bestàtigt
hatte) die Folge 2,5,15,52,203 hier hinein gefüttert:
http://www.research.att.com/~njas/sequences/

Dieses Zahlenfolgen-Archiv wird Dich sicher begeistern, denn es
liefert tausend Erklàrungen und gibt zu zehntausend Fragen Anlass.
In diesem Fall spuckt die Anfrage sofort aus:

A000110 Bell or exponential numbers: ways of placing n labeled
balls into n indistinguishable boxes.

Das Wörtchen "exponential" sagt, dass wir auf dem richtigen Pfad sind.
Und der folgende Kommentar bestàtigt es:

Take the series 1^n/1! + 2^n/2! + 3^n/3! + 4^n/4! ... If n=1 then
the result will be e, about 2.71828. If n=2, the result will be 2e.
If n=3, the result will be 5e. This continues, following the pattern
of the Bell numbers: e, 2e, 5e, 15e, 52e, 203e, etc. - Jonathan R. Love (japanada11(AT)yahoo.ca), Feb 22 2007

Übrigens hat auch Gottfried Helms hier einen Kommentar zu der Zahlen-
folge geschrieben. Dass dies so ist, wie Du es herausgefunden hast,
und wie es in dem Kommentar von Herrn J. R. Love geschrieben steht,
erscheint mir wie ein kleines Wunder, und ich bin selbst gespannt, ob
das in 10 Zeilen verstàndlich erklàrt werden kann :-)

Gruss,
Rainer Rosenthal

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