Sattelpunkt/Terrassenpunkt nur mit der ersten Ableitung beweisen?

16/10/2016 - 11:14 von Manuel Reimer | Report spam
Hallo,

sowohl in meinen Unterlagen als auch in der Formelsammlung wird
folgendermaßen beschrieben wie ein Sattelpunkt einer Funktion f(x)
ermittelt wird:

1) f'(x) hat an der entsprechenden Stelle eine Nullstelle

2) f''(x) hat an der entsprechenden Stelle ebenfalls eine Nullstelle
und àndert an der Stelle das Vorzeichen
Minimum. Steigung von f(x) kommt und geht also mit dem gleichen
Vorzeichen.

Ich frage mich nun ob ich das nicht auch komplett mit der ersten
Ableitung beweisen kann.

Nehmen wir an f(x) hat einen Grad von 4. Ich leite die Funktion ab und
erhalte eine Funktion mit einem Grad von 3. Davon berechne ich die
Nullstellen und ich stelle fest, dass ich z.B. bei x=3 eine *doppelte*
Nullstelle habe.

Reicht das Vorhandensein einer doppelten Nullstelle nicht bereits, dass
hier automatisch ein Stattelpunkt in f(x) sein muss? Da f'(x) hier die
X-Achse nur berührt kommt und geht der Graph hier jeweils auf der
gleichen Seite der X-Achse...

Danke im Voraus

Gruß

Manuel
 

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#1 Detlef Müller
16/10/2016 - 12:55 | Warnen spam
Hallo, Manuel,

Am 16.10.2016 um 11:14 schrieb Manuel Reimer:
Hallo,

sowohl in meinen Unterlagen als auch in der Formelsammlung wird
folgendermaßen beschrieben wie ein Sattelpunkt einer Funktion f(x)
ermittelt wird:

1) f'(x) hat an der entsprechenden Stelle eine Nullstelle

2) f''(x) hat an der entsprechenden Stelle ebenfalls eine Nullstelle
und àndert an der Stelle das Vorzeichen
Minimum. Steigung von f(x) kommt und geht also mit dem gleichen
Vorzeichen.

Ich frage mich nun ob ich das nicht auch komplett mit der ersten
Ableitung beweisen kann.

Nehmen wir an f(x) hat einen Grad von 4. Ich leite die Funktion ab und
erhalte eine Funktion mit einem Grad von 3. Davon berechne ich die
Nullstellen und ich stelle fest, dass ich z.B. bei x=3 eine *doppelte*
Nullstelle habe.

Reicht das Vorhandensein einer doppelten Nullstelle nicht bereits, dass
hier automatisch ein Stattelpunkt in f(x) sein muss? Da f'(x) hier die
X-Achse nur berührt kommt und geht der Graph hier jeweils auf der
gleichen Seite der X-Achse...



Ja, das geht so und wenn man es der Funktion ansieht, kann man so
die Argumentation elegant abkürzen.

Allerdings sieht man ohne weitere Ableitungen nicht so leicht, dass
eine doppelte Nullstelle vor liegt.
Bei Polynomen kann man das mit Polynomdivision feststellen, aber was
macht man z.B. mit
f(x)= sin(x) ℯ^x+ cos(x)(2-ℯ^x) an der Stelle x=0?

Gruß,
Detlef

Dr. Detlef Müller,
http://www.mathe-doktor.de oder http://mathe-doktor.de

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