Scheinbar leichte Ableitung problematisch.

17/03/2008 - 12:53 von viktor.albers | Report spam
Hallo allerseits.

Ich versuche eine Finktion nach der Zeit abzuleiten, und obwohl
scheinbar alles klar sein sollte, habe ich große Probleme damit. Ich
möchte erstmal die Funktion und meinen Lösungsansatz vorstellen,
vielleicht fàllt jemanden die problematische Stelle auf.

Die folgende Funktion, eigentlich die Fourier-Transformierte von einem
Hann-Fenster:

m(t) = (1/2*pi*B) * sin(pi*B*t) * (1/t) * (1/(1-B^2*t^2))

Die Funktion ist (für meine Zwecke) definiert für -2 < Bt < 2. In
diesem Bereich ist sie steigend bis 0 und danach fallend, keine
Diskontinuitàten, làßt sich in Matlab alles schön verifizieren. Ich
erwarte jetzt natürlich, daß die Ableitung auch demensprechend
'unkompliziert' aussieht.
Nun versuche ich analytische eine Ableitung zu finden. Laut Bartsch
làßt sich hier die Kettenregel anwenden:

m' = (uvw)' = u'vw + uv'w + uvw' [1]

So weit, so gut:

u = sin(pi*B*t) -> u' = pi*B*cos(pi*B*t)
v = 1/t -> v' = -1/t^2
w =1/(1-B^2*t^2) -> w' = (2*B^2t)/(1-B^2*t^2)

K = 1/(2*pi*B);

Wenn ich nun u,u',v,v',w und w' einsetze und mir die Funktion
anschaue, bekomme ich etwas eigenartiges mit Diskontinuitàten bei B*t
= -1,0,1. Das verwirrt mich, weil m'(t) eigentlich sowas nicht
aufweisen sollte (wenn man sich m(t) anschaut.

Frage: Habe ich ein grundsàtzliches Problem bei meinem Ansatz? Nachdem
es sich um ein Standardproblem handelt würde ich mich eventuell über
Tipps freuen, wo man die Lösung anschauen kann.

Ich bedanke mich bei allen und einen schönen Tag noch!
Viktor
 

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#1 Roland Franzius
17/03/2008 - 13:24 | Warnen spam
schrieb:
Hallo allerseits.

Ich versuche eine Finktion nach der Zeit abzuleiten, und obwohl
scheinbar alles klar sein sollte, habe ich große Probleme damit. Ich
möchte erstmal die Funktion und meinen Lösungsansatz vorstellen,
vielleicht fàllt jemanden die problematische Stelle auf.

Die folgende Funktion, eigentlich die Fourier-Transformierte von einem
Hann-Fenster:

m(t) = (1/2*pi*B) * sin(pi*B*t) * (1/t) * (1/(1-B^2*t^2))

Die Funktion ist (für meine Zwecke) definiert für -2 < Bt < 2. In
diesem Bereich ist sie steigend bis 0 und danach fallend, keine
Diskontinuitàten, làßt sich in Matlab alles schön verifizieren. Ich
erwarte jetzt natürlich, daß die Ableitung auch demensprechend
'unkompliziert' aussieht.
Nun versuche ich analytische eine Ableitung zu finden. Laut Bartsch
làßt sich hier die Kettenregel anwenden:

m' = (uvw)' = u'vw + uv'w + uvw' [1]

So weit, so gut:

u = sin(pi*B*t) -> u' = pi*B*cos(pi*B*t)
v = 1/t -> v' = -1/t^2
w =1/(1-B^2*t^2) -> w' = (2*B^2t)/(1-B^2*t^2)

K = 1/(2*pi*B);

Wenn ich nun u,u',v,v',w und w' einsetze und mir die Funktion
anschaue, bekomme ich etwas eigenartiges mit Diskontinuitàten bei B*t
= -1,0,1. Das verwirrt mich, weil m'(t) eigentlich sowas nicht
aufweisen sollte (wenn man sich m(t) anschaut.

Frage: Habe ich ein grundsàtzliches Problem bei meinem Ansatz? Nachdem
es sich um ein Standardproblem handelt würde ich mich eventuell über
Tipps freuen, wo man die Lösung anschauen kann.



Der zentrale Punkt ist die Funktion
f(t)=sinc(a t) = sin (a t)/t mit f(0)=a
Sie hat die aus der sinus-Reihe nach Division durch t sich ergebende
Taylorreihe

f(t) = a sum_(n=0)^oo (-1)^n (a t) ^(2n)/(2n+1)!
f ist analytisch und hat daher die Ableitung
f'(t) = a^2 sum_(n=1)^oo (-1)^n (a t) ^(2n-1) 2n /(2n+1)!

Natürlich kann man die Ableitung auch aus der Form

(a t cos( a t) - sin at) /t^2 , t!=0

per limes t->0 bestimmen, aber da die Funktion gerade und analytisch
ist, weiss man eh, dass die Ableitung bei t=0 verschwindet.



Roland Franzius

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