Schneckenpost (Reisezeit)

15/11/2007 - 02:42 von Karl Heinze | Report spam
Vor kurzem ist hier die folgende Frage gepostet worden:

"Gegeben sei ein Einheits-Kubus. Eine Ecke nennen wir "A"
und die gegenüberliegende Ecke "B".

Eine Schnecke startet immer bei A, ihr Ziel ist B. Sie
benötigt genau 1 Jahr für eine Kante. An jeder Ecke
muss sie die Richtung àndern, dabei sind alle 3 Möglich-
keiten gleich wahrscheinlich.

Wie lange benötigt die Schnecke im Durchschnitt für ihre
Reise?"

Das Problem hat mich dazu inspiriert, die mittleren "Reisezeiten einer
Schnecke" für unterschiedliche Wege (Wegformen) zu untersuchen. (Wobei
die Schnecke dann i.A. nicht an jedem Knoten die Richtung àndern /muss/,
sondern lediglich /kann/: dabei sind alle Möglichkeiten gleich wahr-
scheinlich.)

1. Linearer Weg

A ooo--...--o B
0 1 2 n
_
t_n = n^2 Jahre

(Dieses Ergebnis hàtte ich ad hoc nicht erwartet.)

Also z. B.:

1.1 A oo B
_
t = 1 Jahr (Klar, auch ohne Rechnung. :-)


1.2 A ooo B
_
t = 4 Jahre


1.3 A oooo B
_
t = 9 Jahre


1.4 A ooooo B
_
t = 16 Jahre


2. Verzweigter Weg

2.1
o
/ \
A o o B
\ /
o
_
t = 4 Jahre

2.2
o
/ \
A oo o B
\ /
o
_
t = 7 Jahre

2.3
o
/ \
A o oo B
\ /
o
_
t = 13 Jahre

2.4
o
/ \
A oo oo B
\ /
o
_
t = 18 Jahre


Und schließlich auch noch das ursprüngliche Problem:

2.5

o-o
/| /|
A o-o |
| . -|-o B
|/ |/
o-o
_
t = 10 Jahre


Nett. Ich hatte mir zuvor noch nie über derartige Probleme den Kopf
zerbrochen. Vermutlich ist es von hier aus zu der Problematik des
"random walk" nur noch ein kleiner Schritt (sic!).


K. H.


P.S.
Die mittleren Reisezeiten wurden sowohl "analytisch" berechnet als auch
mittels Computersimulation ermittelt.


E-mail: info<at>simple-line<Punkt>de
 

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#1 Roland Damm
15/11/2007 - 09:16 | Warnen spam
Moin,

Karl Heinze schrub:

2.2
o
/ \
A oo o B
\ /
o
_
t = 7 Jahre

2.3
o
/ \
A o oo B
\ /
o
_
t = 13 Jahre



Der Unterschied ist interessant - immerhin sehen die beiden Fàlle
ja symmetrisch aus. Aber klar, zum Startpunkt kann die Schnecke
beliebig oft zurück, ohne dass deswegen die Zeit wieder auf Null
gestellt wird. Den Zielpunkt erreicht sie jedoch nur einmal.

CU Rollo

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