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Schrödinger-Gleichung in der QFT

10/12/2007 - 13:11 von Bettina Kraus | Report spam
Hallo,

ich lerne gerade QFT und bin ein wenig verwirrt, welche
Ergebnisse der nichtrelativistischen QM in der QFT gelten.
Z.B. wird in Peskin/Schröder, Kap. 4.2 "Perturbation expansion
of correlation functions" benutzt, dass der Zeitentwicklungsoperator
der Schrödinger-Gleichung gehorcht. Müsste dann nicht auch
die Wellenfunktion der SG gehorchen anstatt der
Klein-Gordon-Gleichung? Ich sehe gar nicht, dass man die SG
überhaupt benutzen darf.

Auch die Heisenberg-Bewegungsgleichungen werden ja in
der nichtrelativistischen QM hergeleitet und in der QFT weiter
benutzt. Woher weiß ich also, dass diese Relationen weiter gelten?

Viele Grüße,

Bettina
 

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#1 Roland Franzius
10/12/2007 - 13:40 | Warnen spam
Bettina Kraus schrieb:
Hallo,

ich lerne gerade QFT und bin ein wenig verwirrt, welche
Ergebnisse der nichtrelativistischen QM in der QFT gelten.
Z.B. wird in Peskin/Schröder, Kap. 4.2 "Perturbation expansion
of correlation functions" benutzt, dass der Zeitentwicklungsoperator
der Schrödinger-Gleichung gehorcht. Müsste dann nicht auch
die Wellenfunktion der SG gehorchen anstatt der
Klein-Gordon-Gleichung? Ich sehe gar nicht, dass man die SG
überhaupt benutzen darf.

Auch die Heisenberg-Bewegungsgleichungen werden ja in
der nichtrelativistischen QM hergeleitet und in der QFT weiter
benutzt. Woher weiß ich also, dass diese Relationen weiter gelten?



Allgemeine "Philosophie". Der Zeitentwicklungsoperator heißt U_t, sein
infinitesimaler Generator H_t. U_t U_t wirkt als unitàre Abbildung in
2. Quantisierung auf Operatoren und Zustànde zeitentwickelt diese:

i d_t Psi = [H_t,psi_t] (Schrödinger)

so dass das Produkt infinitesimaler unitàrer Operatoren (1+i H_t dt) der
Kurzzeitentwicklung links geordnet nach zunehmender Zeit

psi_t = U_t (psi_0) = prod_ds_k (1 + i H_s_k ds_k ) (psi_0)
-> U_t (psi_0) = T(exp(i int^t H_s ds )) (psi_t)

mit U(psi)=U^+ psi U, in das zeitgeordnete Produkt der Taylorreihe zur
Exponentialreihe übergeht.

Der Hamiltonoperator als Generator der Zeitentwicklung für die
Observablenalgebra und die Zustànde wird als 0-Komponente des 4-Impulses
auf das Massenhyperboloid mit positiver Energie beschrànkt
(Einsteinbedingung E/c=mc in Ruhe, p^2 =m^2c^2 in Bewegung)

H = Projektion(p_0>0) sqrt(\vec p^2+m^2) (Klein-Gordon für Teilchen)
oder
H = Projektion (p_0>0) c (alpha, \vec p) + beta m c^2 (Dirac für Teilchen)

Die dann vorgeführten Lösungen der Klein-Gordon oder Diracgleichung
haben dabei nur den Zweck, eine bequeme Diagonalbasis zum Start der
Nàherungsrechnungen für das komplette zeitgeordnete Produkt U_t zu
generieren und natürlich die meßbaren Eigenschaften der stabilen
Eigenzustànde kennen zu lernen.

Schrödinger ist also eine mathamtische Differentialdarstellungstechnik,
wàhrend Klein-Gordon und Dirac oder Maxwell physikalisch motivierte
Ausdrücke für H durch die Operatoren der Heisenberg-Algebra X,P, S liefern.



Roland Franzius

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