Schwarzschildtgleichung, Einstein, MSU

15/02/2009 - 09:08 von frager | Report spam
Von Satelliten aus, wird der Temperaturverlauf der Erdatmosphàre
dadurch bestimmt, daß im Mikrowellenbereich die Intensitàt der
ankommende Eigenstrahlung des Sauerstoff gemessen wird, die
temperaturabhàngig ist. Zur Eichung nutzt der Empfànger einen
schwarzen Strahler bekannter Temperatur im Satelliten.

Die Intensitàt der ankommenden Strahlung wird durch den
Temperaturverlauf in der Atmosphàre bestimmt und ergibt sich als
Lösung der beschreibenden Differentialgleichung, die erster Ordnung
ist. Bei meinen Recherchen bin ich nur auf Dgl. gestoßen, die mir im
Mikrowellenbereich nicht zutreffend erscheinen. Allerdings liefern
beide Formen im Falle des thermodynamischen Gleichgewichts gleiche
Ergebnisse – aber das haben wir in der Atmosphàre nicht.

Zur Konvention:
In Nadirrichtung sind wegen dp/dh = rho * g bei gleichen
Druckànderungen gleiche Teilchenmengen vorhanden. Deswegen sind im
Folgenden die Teildichten nicht als Zahl der Teilchen durch (Lànge mal
Breite mal Höhe), sondern als Zahl der Teilchen durch (Lànge mal
Breite mal Druckunterschied) gegeben. Eine bestimmte Teilchenzahl ist
dann durch pN, eine bestimmte Absorptionslànge durch pA gegeben. Mit
pA ist bei konstanter Absorption der Druckunterschied gemeint, bei dem
die Anfangsintensitàt auf den e-ten Teil gefallen ist.

Folgende Konstanten seien zu einer Temperatur zusammengefaßt:
TP = h* nu / k

Gelàufige Beschreibung Schwarzschildtgleichung:

pA * dI/dp = I – B[T(p)] mit B(T) als Emission, beschrieben durch die
Planckfunktion mit der Temperatur in einer Druckhöhe p, wobei die
Temperaturabhàngigkeit beschrieben ist durch

B(T) = Konstante/(exp(TP/T) –1)

Diese Emissionsfunktion ergibt sich im thermodynamischen Gleichgewicht
als Lösung der Einsteingleichungen bei Boltzmannverteilung im LTE
(lokales thermodynamisches Gleichgewicht, N0 Dichte aller Moleküle, N1
Dichte im Grundzustand, N2 Dichte im angeregten Zustand, u
Energiedichte des Strahlungsfeldes):

N0 = N1 + N2
N2 = N1 * exp(- TP/T)
0 = dN1/dt = A * N2 + B * N2 * u
0 = dN2/dt = B * N1 * u – B * N2 * u – A * N2

Bei der Lösung ergibt sich dann zunàchst

N1 = N0 / [1 + exp(- TP/T)]
N2 = N0 * exp(- TP/T) / [1 + exp(- TP/T)]

Und anschließend u.

Nun ist der gleiche Ansatz für die Strahlausbreitung anzuwenden. In
einer Druckschicht dp steigt die Intensitàt durch spontane und
induzierte Emission der angeregten Moleküle und sinkt durch die
Absorption an Molekülen im Grundzustand, also:

[(A + I * B) * N2 - I * B * N1] dp = d I oder

dI/dp = (A + I * B) * N2 - I * B * N1 = I * B * (N2 - N1) + A * N2

Durch Einsetzen der Besetzungszahlen wird mit Zusammenfassung (und
richtigen Vorzeichen bezüglich Nadir-Richtung)

pN * dI/dp = I * {1 / [1 + exp(- TP/T)] - exp(- TP/T) / [1 + exp(- TP/
T)] } – K * exp(- TP/T)/ [1 + exp(- TP/T)]

oder

pN * dI/dp = I * [1 - exp(- TP/T)] / [1 + exp(- TP/T)] – K * exp(- TP/
T) / [1 + exp(- TP/T)]

Bei zwei Grenzfàllen kann diese Gleichung sehr vereinfacht werden:

1. TP >> T, dann ist exp(- TP/T) << 1 und kann ggf. vernachlàssigt
werden, also:
pN * dI/dp = I * [1 - 0] / [1 + 0] – K * exp(- TP/T) / [1 + 0] oder
pN * dI/dp = I – K * exp(- TP/T)

das ist die gewöhnliche Schwarzschildtgleichung. Oder:

2. TP << T, dann reicht die erste Nàherung aus exp(- TP/T) = 1 - TP/T

pN * dI/dp = I * [1 – (1 - TP/T)] / [1 + (1 - TP/T)] – K * (1 - TP/
T) / [1 + (1 - TP/T)]
pN * dI/dp = I * [TP/T] / [2 - TP/T] – K * (1 - TP/T) / [2 - TP/T)]

Da TP << T ist TP/T << 1 und kann in Summen vernachlàssigt werden

pN * dI/dp = I * [TP/T] / [2 - 0] – K * (1 - 0) / [2 - 0]
2 * pN * dI/dp = I * TP/T – K

Beim ersten Grenzfall steckt die Temperatur im Emissionsterm, im
zweiten Grenzfall in der Absorptionslànge. Damit sind die Lösungen der
Intensitàt in beiden Fàllen unterschiedlich.

In der Atmosphàre haben wir Temperaturen von ca. 210K bis ca. 310 K.

Im Infrarotbereich z.B. bei 15µm ist TP = 959K, damit kann man mit
großer Nàherung TP >> T ansetzen und es liegt Fall 1 vor.
Im Mikrowellenbereich z.B. bei 50GHz ist TP = 2,4K, damit kann man mit
großer Nàherung TP << T ansetzen und es liegt Fall 2 vor.

Gerechnet wird nach meiner Übersicht aber auch im Mikrowellenbereich
(MSU-Messung) nach Fall 1. Liegt der Fehler bei mir (Kenntnis nicht
aller Quellen) oder bei anderen?

Gruß
Jochen
 

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#1 MostWanted111
15/02/2009 - 11:50 | Warnen spam
On 15 Feb., 09:08, frager wrote:
Von Satelliten aus, wird der Temperaturverlauf der Erdatmosphàre
dadurch bestimmt, daß im Mikrowellenbereich die Intensitàt der
ankommende Eigenstrahlung des Sauerstoff gemessen wird, die
temperaturabhàngig ist. Zur Eichung nutzt der Empfànger einen
schwarzen Strahler bekannter Temperatur im Satelliten.

Die Intensitàt der ankommenden Strahlung wird durch den
Temperaturverlauf in der Atmosphàre bestimmt und ergibt sich als
Lösung der beschreibenden Differentialgleichung, die erster Ordnung
ist. Bei meinen Recherchen bin ich nur auf Dgl. gestoßen, die mir im
Mikrowellenbereich nicht zutreffend erscheinen. Allerdings liefern
beide Formen im Falle des thermodynamischen Gleichgewichts gleiche
Ergebnisse – aber das haben wir in der Atmosphàre nicht.

Zur Konvention:
In Nadirrichtung sind wegen dp/dh = rho * g bei gleichen
Druckànderungen gleiche Teilchenmengen vorhanden. Deswegen sind im
Folgenden die Teildichten nicht als Zahl der Teilchen durch (Lànge mal
Breite mal Höhe), sondern als Zahl der Teilchen durch (Lànge mal
Breite mal Druckunterschied) gegeben. Eine bestimmte Teilchenzahl ist
dann durch pN, eine bestimmte Absorptionslànge durch pA gegeben. Mit
pA ist bei konstanter Absorption der Druckunterschied gemeint, bei dem
die Anfangsintensitàt auf den e-ten Teil gefallen ist.

Folgende Konstanten seien zu einer Temperatur zusammengefaßt:
TP = h* nu / k

Gelàufige Beschreibung Schwarzschildtgleichung:

pA * dI/dp = I – B[T(p)] mit B(T) als Emission, beschrieben durch die
Planckfunktion mit der Temperatur in einer Druckhöhe p, wobei die
Temperaturabhàngigkeit beschrieben ist durch

B(T) = Konstante/(exp(TP/T) –1)

Diese Emissionsfunktion ergibt sich im thermodynamischen Gleichgewicht
als Lösung der Einsteingleichungen bei Boltzmannverteilung im LTE
(lokales thermodynamisches Gleichgewicht, N0 Dichte aller Moleküle, N1
Dichte im Grundzustand, N2 Dichte im angeregten Zustand, u
Energiedichte des Strahlungsfeldes):

N0 = N1 + N2
N2 = N1 * exp(- TP/T)
0 = dN1/dt = A * N2 + B * N2 * u
0 = dN2/dt = B * N1 * u – B * N2 * u – A * N2

Bei der Lösung ergibt sich  dann zunàchst

N1 = N0 / [1 + exp(- TP/T)]
N2 = N0 * exp(- TP/T) / [1 + exp(- TP/T)]

Und anschließend u.

Nun ist der gleiche Ansatz für die Strahlausbreitung anzuwenden. In
einer Druckschicht dp steigt die Intensitàt durch spontane und
induzierte Emission der angeregten Moleküle und sinkt durch die
Absorption an Molekülen im Grundzustand, also:

[(A +  I * B) * N2  - I * B * N1] dp = d I oder

dI/dp =  (A +  I * B) * N2  - I * B * N1 = I * B * (N2 - N1) + A * N2

Durch Einsetzen der Besetzungszahlen wird mit Zusammenfassung (und
richtigen Vorzeichen bezüglich Nadir-Richtung)

pN * dI/dp = I * {1 / [1 + exp(- TP/T)] - exp(- TP/T) / [1 + exp(- TP/
T)] } – K * exp(- TP/T)/ [1 + exp(- TP/T)]

oder

pN * dI/dp = I * [1 - exp(- TP/T)] / [1 + exp(- TP/T)] – K * exp(- TP/
T) / [1 + exp(- TP/T)]

Bei zwei Grenzfàllen kann diese Gleichung sehr vereinfacht werden:

1. TP >> T, dann ist exp(- TP/T) << 1 und kann ggf. vernachlàssigt
werden, also:
pN * dI/dp = I * [1 - 0] / [1 + 0] – K * exp(- TP/T) / [1 + 0] oder
pN * dI/dp = I  – K * exp(- TP/T)

das ist die gewöhnliche Schwarzschildtgleichung. Oder:

2. TP << T, dann reicht die erste Nàherung aus exp(- TP/T) = 1 - TP/T

pN * dI/dp = I * [1 – (1 - TP/T)] / [1 + (1 - TP/T)] – K * (1 - TP/
T) / [1 + (1 - TP/T)]
pN * dI/dp = I * [TP/T] / [2 - TP/T] – K * (1 - TP/T) / [2 - TP/T)]

Da TP << T ist TP/T << 1 und kann in Summen vernachlàssigt werden

pN * dI/dp = I * [TP/T] / [2 - 0] – K * (1 - 0) / [2 - 0]
2 * pN * dI/dp = I * TP/T – K

Beim ersten Grenzfall steckt die Temperatur im Emissionsterm, im
zweiten Grenzfall in der Absorptionslànge. Damit sind die Lösungen der
Intensitàt in beiden Fàllen unterschiedlich.

In der Atmosphàre haben wir Temperaturen von ca. 210K bis ca. 310 K.

Im Infrarotbereich z.B. bei 15µm ist TP = 959K, damit kann man mit
großer Nàherung TP >> T ansetzen und es liegt Fall 1 vor.
Im Mikrowellenbereich z.B. bei 50GHz ist TP = 2,4K, damit kann man mit
großer Nàherung TP << T ansetzen und es liegt Fall 2 vor.

Gerechnet wird nach meiner Übersicht aber auch im Mikrowellenbereich
(MSU-Messung) nach Fall 1. Liegt der Fehler bei mir (Kenntnis nicht
aller Quellen) oder bei anderen?

Gruß
Jochen



Jochen,

Du hast Dir selbst schon einen Teil der Antwort gegeben :

Die Theorie ist falsch !

Thermodynamik war mir schon immer verdàchtig, weil der Prof. immer
alles in ein

" unendlich großes Wàrmebad " eingebettet hat.

Was soll das sein ?

Das Universum ?


Jetzt lassen wir Deine Gleichungen mal adiabatisch ausklingen, dann
sind wir alle FÜR IMMER auf der selben Temperatur - Super !

Denk mal an die Lady Gaga aus New York - sie sagt : " Mànner

wollen immer das eine ! " !

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