Schwerpunkt einer Fläche, oder: wie bestimme ich Selbstschnitte

21/06/2008 - 09:47 von news.chello.at | Report spam
Hallo,

ich möchte von einer allgemeinen 2dimensionalen Flàche, von der genügend
viele Punkte der Randkurve gegeben sind sodaß man die Flàche als Polygon
betrachten kann, den Schwerpunkt ermitteln.
Ich dachte, das sei nicht weiter Schlimm, da zB die x-Koordinate des
Schwerpunkts durch x_s = S_y / A berechenbar ist, wobei S_y das statische
Moment und A die Flàche sind.
S_y widerum definiert sich als Integral von x über die gesamte Flàche. Nach
dem Greenschen Integralsatz kann das Integral S_y = \int_{A}y dA in das
Kurvenintegral S_y = \int_{t} x(t) y(t) y'(t) dt umwandeln. x(t) und y(t)
sind stückweise Geraden zwischen den gegebenen Punkten der Randkurve.
Den selben Trick kann man auch bei der Berechnung der Flàche anwenden.

Ich dachte schon, daß das nun eine wunderschne Lösung wàre, jedoch mußte ich
feststellen, daß bei der Kurve auch Selbstschnitte möglich sind!
Das Kurvenintegral mit dem ich die Flàche und das statische Moment berechne
sind aber abhàngig von der Durchlaufrichtig der Kurve vorzeichenbehaftet.
Wird die Kurve im Uhrzeigersinn durchlaufen, so erhalte ich einen poitiven
Wert, gegen den Uhrzeigersinn einen negativen. Da sich der Schwerpunkt durch
den Quotienten aus 2 solchen Zahlen ergibt, geben sich die Vorzeichen weg,
es ist also egal in welche richtung ich laufe.

Wenn aber die Kurve einen Selbstschnitt hat (also einen 8er darstellt), dann
ist die eine Hàlfte positiv und die andere negativ und sie heben sich
gegenseitig auf. Ich erhalte also eine Flàche sowie ein statisches Moment
von fast 0 und die ganze Berechnung stimmt nicht mehr.

Eine Lösung wàre, zuerst die Kurve auf Selbstschnitte zu untersuchen und
dann die berechnung für jede regulàre Teilkurve seperat zu machen und am
Ende den gesamtschwerpunkt zu ermitteln (letzteres geht ganz leicht).

Mein Problem: Wie bestimme ich möglichs effektiv, ob und vor allem an
welcher Stelle eine Kurve einen Selbstschnitt hat.
Oder wenndas Problem zu schwierig wird: Weiß jemand einen anderen Ansatz zur
Bestimmung des Schwerpunkts einer allgemeinen Flàche?

Danke und viele Grüße
Reinhard Gruber
 

Lesen sie die antworten

#1 Jan Fricke
23/06/2008 - 09:29 | Warnen spam
news.chello.at wrote:
Mein Problem: Wie bestimme ich möglichs effektiv, ob und vor allem an
welcher Stelle eine Kurve einen Selbstschnitt hat.


Da solltest Du vielleicht besser mal bei den Programmierern nachfragen:
Aus mathematischer Sicht ist das Problem recht einfach: Wenn der Rand
stückweise linear ist, dann muss man nur das aktuelle Randstück der
Reihe nach mit allen vorangegangenen Randstücken schneiden und danach
kontrollieren, ob der Schnittpunkt im Inneren beider Strecken liegt. Da
gibt es sicherlich ein paar algorithmische Tricks, das zu verbessern.
Aber vielleicht auch nicht (siehe unten).

Oder wenndas Problem zu schwierig wird: Weiß jemand einen anderen Ansatz zur
Bestimmung des Schwerpunkts einer allgemeinen Flàche?


Das wird zumindest nicht mehr mit der Greenschen Formel gehen, da der
absolute Flàcheninhalt keine exakte Form ist. Weiterhin wird auch keine
lokale Formel möglich sein, da man globale Informationen braucht, um zu
entscheiden, ob jetzt die Flàche "links" oder "rechts" liegt.
Vermutlich musst Du wirklich die Flàche in überschneidungsfreie
Komponenten zerlegen.


Viele Grüße Jan

Ähnliche fragen