Semantik versus Beweiskalkuel

01/10/2011 - 08:43 von carlox | Report spam
betreff:
Sinn eines Beweiskalkuels, Semantik reicht doch aus ?

Hallo allerseits,
Annahme:
Man will einen zahlentheoretischen Satz zeigen, wie z.B. die
Goldbachsche Vermutung.

Dieser Satz wir in der Praedikatenlogik 1. Ordnung (FOL) formuliert.
Dann wird die Semantik benutzt, d.h. man benutzt das Standardmodell
der natuerlichen Zahlen, hier SM genannt, mit der von der Grundschule
her bekannten Addition und Multiplikation.
Außerdem wird durch die Semantik die Wahrheitsfunktion W_SM definiert,
wie z.B:
W_SM(A and B, h) = et (W_SM(A,h), W_SM(B,h))
wobei
h : Variablenmenge --> Traegermenge
eine Belegung ueber der Traegermenge (= natuerliche Zahlen) ist und
et die zu and zugehoerige Wahrheitsfunktion ist mit:
et(W,W) = W
et(F,W) = F
et(W,F) = F
et(F,F) = F
Wenn man jetzt innerhalb dieses Standardmodells die Gueltigkeit eines
Satzes zeigen will, wird ein bestimmter "Semantikkalkuel" (von mir
erfundenes Wort, deshalb in Anfuehrungszeicnen) benutzt der nicht zu
verwechseln ist mit dem Beweiskalkuel der Praedikatenlogik.
Beispiel einer Regel
A ist gueltig in SM , A --> B ist gueltig in SM
B ist gueltig in SM

Kurz:

|=_SM A , |=_SM A--> B
-
|=_SM B

Meine Fragen dazu:
1) Muesste dieser "Semantikkalkuel" nicht auch explizit definiert
werden (aehnlich dem Beweiskalkuel)

2) Welchen Sinn hat dann ueberhaupt der Beweiskalkuel der FOL ?
Wozu braucht man ihn, wenn es den "Semantikkalkuel" gibt?

3) Warum ist die Wahrheitsfunktion W_SM rechtseindeutig (also warum
ist diese Wahrheitsfunktion eine Funktion und keine Relation)

4) Warum ist die Wahrheitsfunktion eindeutig, d.h. warum kann es nicht
eine andere Wahrheitsfunktion W_SM' geben ?

mfg
Ernst
 

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#1 Christopher Creutzig
01/10/2011 - 11:56 | Warnen spam
On 10/1/11 8:43 AM, Ernst Baumann wrote:

2) Welchen Sinn hat dann ueberhaupt der Beweiskalkuel der FOL ?
Wozu braucht man ihn, wenn es den "Semantikkalkuel" gibt?



Der Beweiskalkül hat den Vorteil, mit endlich langen Ableitungen
auszukommen. Dein „Semantikkalkül“ kann einen Beweiskalkül nicht
ersetzen, denn mindestens eine der Voraussetzungen des Gödelschen
Unvollstàndigkeitssatzes kann dort nicht erfüllt sein, und das sind
alles Dinge, die man für eine axiomatisierte Mathematik, wie sie Hilbert
vorschwebte, braucht.

Aber wie hier schon geschrieben wurde: Das ganze Zeug mit
Pràdikatenlogik etc. betreibt man ja nicht, um zahlentheoretische Sàtze
zu untersuchen, dafür ist es einfach viel zu unhandlich.

4) Warum ist die Wahrheitsfunktion eindeutig, d.h. warum kann es nicht
eine andere Wahrheitsfunktion W_SM' geben ?



Du bist von einem bestimmten Modell ausgegangen. In einem einzelnen
Modell ist die Menge der wahren Aussagen eine feste Größe. Dein W_SM ist
die Indikatorfunktion dieser Menge, also eindeutig bestimmt, wenn auch
nicht notwendigerweise berechenbar.

Das ist doch immerhin ein Stueck weniger schlecht
als ich dachte. (Hans Crauel)

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