semisimple algebra

11/02/2009 - 21:26 von christian.palmes | Report spam
Hallo,

ich bin auf der Suche nach einem Buch, das erklàrt, was eine
semisimple algebra ist, bzw. diesen Begriff überhaupt definiert.

In dem Buch Algebra von Lang wird nur semisimple im Zusammenhang mit
Ringen und Moduln eingeführt. Schaue ich jedoch bei Wikipedia nach dem
Begriff "semisimple algebra", so wird diese über das Jacobson radical
definiert und es werden auch einige Folgerungen angegeben. Ich suche
ein Buch, in dem z.B. ein Teil dieser Folgerungen bewiesen werden bzw.
das sich überhaupt irgendwie mit semisimplen Algebren beschàftigt.


Dann steht in dem Buch vom Lang folgende Aufgabe:

Let E be a finite-dimensional vector space over a field k. Let A elem
End_k(E). We say that A is semisimple if E is a semisimple A-space, or
equivalently, let R be the k-algebra generated by A, then E is
semisimple over R.

Was ist ein A-space? Was bedeutet E ist semisimple über R?

Vielen Dank,

Gruß Christian
 

Lesen sie die antworten

#1 Marc Olschok
11/02/2009 - 22:13 | Warnen spam
wrote:
Hallo,

ich bin auf der Suche nach einem Buch, das erklàrt, was eine
semisimple algebra ist, bzw. diesen Begriff überhaupt definiert.

In dem Buch Algebra von Lang wird nur semisimple im Zusammenhang mit
Ringen und Moduln eingeführt. Schaue ich jedoch bei Wikipedia nach dem
Begriff "semisimple algebra", so wird diese über das Jacobson radical
definiert und es werden auch einige Folgerungen angegeben. Ich suche
ein Buch, in dem z.B. ein Teil dieser Folgerungen bewiesen werden bzw.
das sich überhaupt irgendwie mit semisimplen Algebren beschàftigt.




Lambek: Lectures on Rings and Modules

ist nicht schlecht. Aber wahrscheinlich wird fast jedes Lehrbuch
geeignet sein in dessen Titel "Ring" vorkommt.



Dann steht in dem Buch vom Lang folgende Aufgabe:

Let E be a finite-dimensional vector space over a field k. Let A elem
End_k(E). We say that A is semisimple if E is a semisimple A-space, or
equivalently, let R be the k-algebra generated by A, then E is
semisimple over R.

Was ist ein A-space? Was bedeutet E ist semisimple über R?



Ich habe den Lang jetzt gerade nicht zur Hand, vermute aber,
dass mit A-space das gemeint ist, was in der linearen Algebra
im Zusammenhang mit diversen Normalformen untersucht wird,
nàmlich ein k-Vektorraum E, zusammen mit einer festen
linearen Abbildung A: E --> E.

In dieser Situation kann man E genausogut als Modul über dem
Ring R = k[A] auffassen, wobei k[A] der in End_k(E) erzeugte
Unterring ist, also das Bild des k[X] --> End_k(E) mit X -> A.

Dabei sind die Teilmoduln von E (also k[A]-Modul) genau diejenigen
Untervektorràume von E, die invariant unter A sind.

Als k[A]-Moduls braucht E nicht unbedingt halbeinfach zu sein,
falls es so ist, nennt Lang die Abbildung A halbeinfach.

Marc

Ähnliche fragen