Separabler Raum

26/01/2011 - 11:54 von JürgenR | Report spam
Ein topologischer Raum ist separabel, wenn er eine dichte abzàhlbare
Teilmenge enthàlt.

Nun gibt es neuerdings folgenden Satz vom Mückenheim:

Es sei M eine geordnete Menge und M = A v B; A und B disjunkt; und für
beliebige a_1 < a_2 in A gebe es
immer ein b in B, derart dass a_1 < b < a_2; und für beliebige b_1 < b_2 in
B gebe es
immer ein a in A mit b_1 < a < b_2. Dann sind A und B gleichmàchtig.

Beweis: Das sieht doch jeder Unverblendete sofort. Wir beweisen in
Mückenhausen auch
nicht, dass 2+3=5 ist.
QED

Nun stellt sich die Frage, ob sich dieser Satz verallgemeinern làsst.
Offenbar folgt
sofort, dass alle eindimensionalen metrischen Ràume abzàhlbar sind.

Kann man diesen schönen Beweis auch in 2 und mehr Dimensionen anwenden?
Gilt er vielleicht sogar für beliebige separable topologische Ràume?
Oder sogar schon für Lindelöf'sche?
Oder genügt eine abzàhlbare Basis?
Ist vielleicht sogar jeder topologische Raum abzàhlbar?
 

Lesen sie die antworten

#1 Christopher Creutzig
29/01/2011 - 11:49 | Warnen spam
On 1/26/11 11:54 AM, JürgenR wrote:

Kann man diesen schönen Beweis auch in 2 und mehr Dimensionen anwenden?



Wenn M abzàhlbar ist, ist auch M^n für natürliches n abzàhlbar.

Ist vielleicht sogar jeder topologische Raum abzàhlbar?



Gibt es in Mückenhausen neuerdings unendliche Mengen?

Das ist doch immerhin ein Stueck weniger schlecht
als ich dachte. (Hans Crauel)

Ähnliche fragen