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Simultane Eigenfunktionen

11/01/2008 - 10:00 von Daniel Arnold | Report spam
Hallo zusammen

Wenn in der Quantenmechanik zwei Operatoren kommutieren, dann kann man
ja simultane Eigenfunktionen beider Operatoren finden. Oder bei mehreren
Operatoren H, F und K: Ist [H,F]=0, [H,K]=0 und [F,K]=0, so gibt es
simultane Eigenfunktionen für H, F und K. Mit diesem Argument findet man
ja heraus, dass der Winkelanteil der Wellenfunktion bei drehinvarianten
Problemen durch die Kugelfunktionen gegeben ist. Man beschrànkt sich
also auf Eigenfunktionen von L^2 und L_z. Aber was garantiert mir, dass
ich damit jede Eigenfunktion des Hamiltonoperators finde? H, L^2 und L_z
haben zwar gemeinsame Eigenfunktionen, aber das heisst ja nicht, dass
die Mengen der Eigenfunktionen die selben sind.

Gruss, Daniel
 

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#1 roland franzius
11/01/2008 - 12:45 | Warnen spam
Daniel Arnold wrote:
Hallo zusammen

Wenn in der Quantenmechanik zwei Operatoren kommutieren, dann kann man
ja simultane Eigenfunktionen beider Operatoren finden. Oder bei mehreren
Operatoren H, F und K: Ist [H,F]=0, [H,K]=0 und [F,K]=0, so gibt es
simultane Eigenfunktionen für H, F und K. Mit diesem Argument findet man
ja heraus, dass der Winkelanteil der Wellenfunktion bei drehinvarianten
Problemen durch die Kugelfunktionen gegeben ist. Man beschrànkt sich
also auf Eigenfunktionen von L^2 und L_z. Aber was garantiert mir, dass
ich damit jede Eigenfunktion des Hamiltonoperators finde? H, L^2 und L_z
haben zwar gemeinsame Eigenfunktionen, aber das heisst ja nicht, dass
die Mengen der Eigenfunktionen die selben sind.



Erstens der Mechanismus des Tensorprodukts von Hilbertràumen.

Sind H_1 H_2 zwei Hilbertràume mit Basen {x->f_i(x)}, {y->g_j(y)}, dann
ist die Menge {(x,y)-> f_i(x) g_j(y)} eine Basis im Hilbertraum
H_1\tensor\H_2.

Dazu muss man nur zeigen, dass die Produkte von Treppenfunktionen in
mehreren Dimensionen dicht in den meßbaren Funktionen sind. Dann muss
man noch zeigen, dass die Produkte quadratintegrabler Funktionen über
niederdimensionalen Mannigfaltigkeiten dicht im Ziel-Hilbertraum liegen.
Das macht man mit einigen Abschàtzungen.

Zweitens bilden die Eigenfunktionen eines selbstadjungierten Operators
eine dichte Menge, aus der man eine Orthogonalbasis generieren kann.
Selbstadjungiert heißt A^+=A auch in Hinblick auf den Definitionsbereich
bei unbeschrànkten Operatoren, nicht nur formale Symmetrie im
Skalarprodukt <A^f, g> = <f,A,g> im Durchschnitt der Definitonsbereiche
von A und A^+. Im Normalfall ist man fertig, wenn man zeigen kann, dass
wenn nicht A, dann aber A^++ selbstadjungiert ist, da beim adjungieren
der Definitonsbereich nur größer werden kann.

Vor diesem Hintergrund zeigt man:

L_z ist auf S^1 mit periodischen Randbedingungen selbstadjungiert, damit
sind die Eigenfunktionen
e^(i m phi), m ganz, dicht in L^2((0,2pi),dphi).

Der Kugellaplace

-Delta_(S_2) = - 1/sin theta d/dtheta sin theta d/d theta - 1/sin^2
theta d^2/dphi^2

ist auf S^2 mit Maß ( sin theta dtheta ) selbstadjungiert. Die
Eigenfunktionen e^(i m phi ) P^m_(cos theta ) bilden eine Basis des
L^2(S_2, sin theta dtheta).

Der Operator der effektiven radialen kinetischen Energie zu festem
Drehimpulseigenwert l des Kugellaplace

T=-1/2 1/r^2 d/dr r^2 d/dr + 1/2 l(l+1)/r^2

ist symmetrisch in der Menge der Funktionen L^2(R_+, r^2 dr) für alle
Funktionen f(r),g(r) mit lim_(r->0) r^2 f^(n)(r),g^(n)(r)=0 für alle
Ableitungen n:

int_0^oo r^2 dr f(r) 1/r^2 d/dr r^2 d/dr g(r)
= - int_0^oo f'(r) r^2 g'(r) - lim_r->0 (f(r) r^2 g'(r) )
= int_0^oo dr (r^2 f'(r))' g(r)
+ lim_r->0 ( f'(r) r^2 g(r)-f(r)r^2 g'(r)

Der radiale effektive Hamiltonoperator ist also symmetrisch auf allen
Funktionen, für die die Randwerte bei r->0 verschwinden. Dazu reicht
gerade das abstoßende Zentrifugalpotential l(l+1)/r^2. Damit haben nur
s-Zustànde mit l=0 ein Problem, der Grundzustand muß also immer
gesondert untersucht werden.

Wenn dann das elektrische Zentralpotential V(r) nur eine Störung
darstellt, ist man damit fertig. Das funktioniert für das
Schrödinger-Coulombproblem, aber nicht mehr für für das anziehende
Potential V(r)~ -a^2/r^2, das die Zentrifugalbarriere auch für l>0
kompensieren kann.

Im relativistischen Fall gehen wegen der Begrenzung der kinetischen
Geschwindigkeit durch die Lichtgeschwindigkeit anziehendes Coulomb- und
abstoßendes Drehimpulspotential beide mit derselben Potenz 1/r; dann
wird die Grenze der Selbstadjungiertheit des radialen effektiven
Operators in der Diracgleichung für das Separationsverfahren schon bei
Kernladungszahl 118 erreicht.


Roland Franzius

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