Forums Neueste Beiträge
 

Skalarprodukt und Kugelkoordinaten

11/01/2008 - 01:53 von Tobias Baumann | Report spam
Guten Tag

Ich habe hier eine ganz kleine Zeile in meinem Physik Script und stehe
extremst auf dem Schlauch. Folgendes steht da:

\vec{r} \cdot abla \vec{\Phi} = r \frac{\partial \Phi}{\partial r}

Für nicht LaTex gewannte Leute:

(*) wenn r ein Vektor ist so soll r * grad(Phi) = |r| dPhi / dr sein
(der * ist das Skalarprodukt und hinten partielle Ableitungen).

Phi ist in Kugelkoordinaten gegeben. Genaugenommen ist Phi = r^(-l-1)
Y(Theta, phi). Y sind die Kugelflàchenfunktionen.

Jetzt ist die Frage ob die obige Beziehung (*) für beliebige Phi gilt
oder resultiert das irgendwie daraus das die Kugelflàchenfunktionen 0
sind bei Ableitungen nach phi oder Theta. Aber das glaube ich bei besten
Willen nicht.

Wahrscheinlich hab ich das mit der Basis in Kugelkoordinaten nicht so
recht verstanden. Wenn ich jedoch 2 Vektoren habe, beide sind in
Kugelkoordinaten dargstellt, so muss ich doch trotzdem nur die
jeweiligen Komponenten multiplizieren und addieren. Oder kommen da noch
irgendwelche Faktoren hinein die ich ausser acht gelassen habe?

Passend zum Thema noch eine Frage:

Ich hab zum Beispiel den Vektor r in Kugelkoordinaten mit den
Komponenten (1, 0, pi/2) (hab mich mal an Wikipedia gehalten:
http://de.wikipedia.org/wiki/Kugelkoordinaten), kann ich den Vektor dann
auch irgendwie als eine Linearkombination schreiben, wie mit einfachen
kartesischen Koordinaten r = x1 e1 + x2 e2 + x3 e3.

Irgendwie raff ich gerade garnichts, daher vielen Dank für eure Hilfe.

Gruß Tobias
 

Lesen sie die antworten

#1 Hendrik van Hees
11/01/2008 - 03:39 | Warnen spam
Tobias Baumann wrote:


(*) wenn r ein Vektor ist so soll r * grad(Phi) = |r| dPhi / dr sein
(der * ist das Skalarprodukt und hinten partielle Ableitungen).

Phi ist in Kugelkoordinaten gegeben. Genaugenommen ist Phi = r^(-l-1)
Y(Theta, phi). Y sind die Kugelflàchenfunktionen.

Jetzt ist die Frage ob die obige Beziehung (*) für beliebige Phi gilt
oder resultiert das irgendwie daraus das die Kugelflàchenfunktionen 0
sind bei Ableitungen nach phi oder Theta. Aber das glaube ich bei
besten Willen nicht.



Well ;-). Was ist der Gradient? Das ist die Differentialform, die in
Kugelkoordinaten die Gestalt

dPhi=dr \partial_r Phi+dth \partial_th Phi+dph \partial_ph Phi (1)

besitzt.

Mit Hilfe der euklidischen Fundamentalfrom als Vektor geschrieben:

dPhi=d\vec{r} grad Phi (2)

Seien e_r, e_th, e_ph die zu den Kugelkoordinaten gehörigen
orthonormierten Basisvektoren. Dann folgt aus (1) und (2)

grad Phi=e_r \partial_r Phi + e_th/r \partial_th Phi
+ e_ph/(r sin th) \partial_ph Phi

Nun ist weiter

\vec{r}=r e_r

und also schließlich

\vec{r} grad Phi=r \partial_r Phi

qed.

Hendrik van Hees Texas A&M University
Phone: +1 979/845-1411 Cyclotron Institute, MS-3366
Fax: +1 979/845-1899 College Station, TX 77843-3366
http://theory.gsi.de/~vanhees/faq mailto:

Ähnliche fragen