SO3, SU2 und die Drehgruppe

27/03/2008 - 22:39 von Alexander Streltsov | Report spam
Ich habe vor einiger Zeit mich mit Gruppentheorie für Physiker nach den
Büchern von Hamermesh und Tung beschàftigt und habe noch ein Paar offene
Fragen, die weiter unten folgen.

Bekanntlich ist SO3 die Gruppe der orthogonalen 3x3 Matrizen mit
Determinante 1, SU2 ist die Gruppe der unitàren 2x2 Matrizen ebenfalls
mit Determinante 1, die Verknüpfung ist in beiden Fàllen die
Matrixmultiplikation.
Die Drehgruppe ist die Gruppe der Drehungen im R^3.

Nun wird oft die Drehgruppe und SO3 als synonyme verwendet. SO3 ist
jedoch nur eine Darstellung der Drehgruppe, die man auch als
definierende Darstellung verwenden kann, ist das richtig?

SU2 und SO3 sind isomorph zueinander, weil sie aufeinander abgebildet
werden können. Die Abbildung ist aber nicht eineindeutig. Die beiden
Gruppen haben lokal gleiche Eigenschaften und gleiche Strukturfaktoren,
nàmlich den Epsilon-Tensor, unterscheiden sich aber global darin, dass
bei SU2 eine Drehung um 2Pi ein Minuszeichen bringt.
Ist SU2 damit auch eine Darstellung einer Drehgruppe, oder nicht?

Eventuell hat jemand auch eine verstàndliche (aber dabei Exakte)
Definition einer Gruppendarstellung.

mfg
Alex
 

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#1 Hans-Bernhard Bröker
28/03/2008 - 00:53 | Warnen spam
Alexander Streltsov wrote:

Nun wird oft die Drehgruppe und SO3 als synonyme verwendet. SO3 ist
jedoch nur eine Darstellung der Drehgruppe, die man auch als
definierende Darstellung verwenden kann, ist das richtig?



Sie ist nicht "nur" eine Darstellung, sondern "die" Darstellung.

Ebenso gut bzw. schlecht könnte man den euklidischen 3-dimensionalen
Raum als "nur" ein Modell des (vor-relativistisch bekannten) physischen
Raumes, in dem wir alle leben, bezeichnen.

SU2 und SO3 sind isomorph zueinander, weil sie aufeinander abgebildet
werden können.



Nicht ganz. Sie wàren isomorph, wenn es eine solche Abbildung gàbe, bei
der Beziehungen zwischen Gruppenelementen erhalten bleiben, speziell
weil für die Isomorphie-Abbildung f gilt: a * b = c <=> f(a) * f(b) = f(c)

Das gilt aber nicht für die Gruppen SO(3) und SO(2), sondern nur für
ihre Erzeuger-Algebren.

Eventuell hat jemand auch eine verstàndliche (aber dabei Exakte)
Definition einer Gruppendarstellung.



Ein Isomorphismus zwischen Gruppenelementen und Matrizen.

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