Sophie-Germain-Clubs

08/10/2016 - 00:26 von Rainer Rosenthal | Report spam
Eine Primzahl p nennt man Sophie-Germain-Primzahl oder auch Germainsche
Primzahl, wenn auch 2p + 1 eine Primzahl ist.
(Quelle: https://de.wikipedia.org/wiki/Sophi...n-Primzahl)

Statt *einer* Primzahl betrachte ich eine Menge von Primzahlen.
Sie bilden einen Sophie-Germain-Club, wenn für ihr Produkt P gilt:
2*P + 1 ist eine Primzahl.

Beispiele:
1) 2*3*5*7*11 + 1 = 2311 ist Primzahl,
d.h. {3,5,7,11} ist Sophie-Germain-Club.

2) 2*3*5*7*11*13 + 1 = 30031 = 59 * 509 ist keine Primzahl,
d.h. {3,5,7,11,13} ist kein Sophie-Germain-Club.

Zu gegebener Clubgröße N einen Club mit möglichst kleinem Produkt P
zu finden, ist eine hübsche Aufgabe, und dabei gibt es dann pràchtige
Exemplare für N0 und N1 zu bestaunen: die ersten N ungeraden
Primzahlen bilden nàmlich einen Sophie-Germain-Club.
Wie oben gesehen ist das schon für N=4 der Fall und für kleinere N
erst Recht. Dann ist es wieder für Nt der Fall.
Bis N00 habe ich mittels Maple weiter gesucht, bin dann aber nicht
mehr auf solche Prachtexemplare gestoßen.

Ich könnte nun die Frage stellen, ob es noch größere "perfekte Clubs"
gibt, also solche, die aus den ersten N ungerade Primzahlen bestehen.
Das scheint mir aber unmöglich zu beantworten zu sein. Und selbst wenn
einer gefunden wird, dann kommt auch gleich die Frage, ob es noch
mehr gibt. Das ist nicht so prickelnd, finde ich.
(Ein bisschen aber schon :-) )

Dann aber ist mir eine Frage eingefallen, die "ganz offensichtlich"
mit "Ja" zu beantworten sein muss:
Gibt es zu jeder natürlichen Zahl N einen Sophie-Germain-Club der
Größe N, d.h. mit N Mitgliedern?

Das scheint mir deswegen überaus plausibel, weil ich beim
Experi-mentieren einfach nur die ersten N ungeraden Primzahlen als Basis
wàhlen musste und dann die letzten durch größere ersetzen musste.
Mehr als die 12 letzten musste ich nie variieren (bis N00).
Gibt es eine Primzahl-Erkenntnis, die man hier anwenden könnte,
um aus "experimentell naheliegend" zu "wahr" zu gelangen? Oder
gibt es sowas Hübsches wie "wenn die Riemannsche Vermutung zutrifft,
dann ist das wahr"?

Weil es gar zu trivial ist, kommt ganz zum Schluss die Anmerkung:
die Menge {p} ist genau dann ein Sophie-Germain-Club, wenn p eine
Sophie-Germain-Primzahl ist.
[Bedenke ich allerdings, wie spàt es gerade wieder geworden ist,
und was man immer bei "trivial" für Überraschungen erleben kann,
dann poste ich dies unter Ausschluss des Rechtswegs.]

Gruß,
Rainer
(an das Gute in dsm glaubend)

Rainer Rosenthal
r,rosenthal@web.de
 

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#1 Ralf Goertz
08/10/2016 - 09:31 | Warnen spam
Am Sat, 8 Oct 2016 00:26:56 +0200
schrieb Rainer Rosenthal :


Beispiele:
1) 2*3*5*7*11 + 1 = 2311 ist Primzahl,
d.h. {3,5,7,11} ist Sophie-Germain-Club.

2) 2*3*5*7*11*13 + 1 = 30031 = 59 * 509 ist keine Primzahl,
d.h. {3,5,7,11,13} ist kein Sophie-Germain-Club.

Zu gegebener Clubgröße N einen Club mit möglichst kleinem Produkt P
zu finden, ist eine hübsche Aufgabe, und dabei gibt es dann pràchtige
Exemplare für N0 und N1 zu bestaunen: die ersten N ungeraden
Primzahlen bilden nàmlich einen Sophie-Germain-Club.
Wie oben gesehen ist das schon für N=4 der Fall und für kleinere N
erst Recht.



Hallo Rainer,

gibt es einen Grund, warum Du Dich auf ungerade Primzahlen beschrànkst?
Für N=4 bilden doch schon die ersten Primzahlen einen Club mit einem
naturgemàß kleineren Produkt:

$ echo '2*(2*3*5*7)+1' | bc
421

$ factor 421
421: 421

Ralf

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