Spektrum von Linearkombinationen kommutierender Operatoren

29/04/2010 - 19:45 von Norbert Dragon | Report spam
Haben zwei kommutierende Operatoren X und Y einen Eigenvektor u
mit Eigenwerten x und y, so hat natürlich die Linearkombination
c X + s Y den Eigenwert c x + s y. Wie zeigt man diesen Sachverhalt
bei kontinuierlichem Spektrum?

Mit der Definition des Spektrums von X, Y als Komplement der komplexen
Zahlenpaare (z_1, z_2), für die (z_1 - X) und (z_2 - Y) invertierbar
ist, komme ich nicht weiter, denn Linearkombinationen invertierbarer
Operatoren brauchen nicht invertierbar sein.

Aberglaube bringt Unglück

www.itp.uni-hannover.de/~dragon
 

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#1 Bastian Erdnüß
29/04/2010 - 21:44 | Warnen spam
Norbert Dragon wrote:

Haben zwei kommutierende Operatoren X und Y einen Eigenvektor u
mit Eigenwerten x und y, so hat natürlich die Linearkombination
c X + s Y den Eigenwert c x + s y. Wie zeigt man diesen Sachverhalt
bei kontinuierlichem Spektrum?



Was soll denn der "der gemeinsame Eigenvektor" im Allgemeinen sein? Wie
spielt da rein, dass X und Y kommutieren?

Mit der Definition des Spektrums von X, Y als Komplement der komplexen
Zahlenpaare (z_1, z_2), für die (z_1 - X) und (z_2 - Y) invertierbar
ist, komme ich nicht weiter, denn Linearkombinationen invertierbarer
Operatoren brauchen nicht invertierbar sein.



Das klingt, als wolltest du zeigen, dass c x + s y im Spektrum von
c X + s Y ist, wenn nur x im Spektrum von X und y im Spektrum von Y
sind (und X und Y vielleicht kommutieren).

Das geht so aber nicht. Da würde ich lieber nach einem Gegenbeispiel
suchen.

Gruß,
Bastian

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