spezielle rechtw. Dreiecke

23/02/2013 - 16:51 von Walter H. | Report spam
Hallo,

gegeben sei

a = u^2 - v^2
b = 2uv
c = u^2 + v^2

mit u, v aus IN und u > v

A = ab/2

für alle Dreiecke gilt: A = ur/2 | r = Inkreisradius, u = Umfang

in u und v ausgedrückt ergibt dies:

ab/2 = (a+b+c)r/2
2uv(u^2-v^2)/2 = (2u^2+2uv)r/2
v(u-v) = r

bei gegebenem ganzzahligem Inkreisradius r hat man daher soviele nicht
àhnliche rechtw. Dreiecke wie der Inkreisradius r ganzzahlige Teiler hat;

ist dies überraschend oder doch logisch?

Grüße,
Walter
 

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#1 Detlef Müller
24/02/2013 - 12:37 | Warnen spam
Am 23.02.2013 16:51, schrieb Walter H.:
Hallo,

gegeben sei

a = u^2 - v^2
b = 2uv
c = u^2 + v^2

mit u, v aus IN und u > v

A = ab/2

für alle Dreiecke gilt: A = ur/2 | r = Inkreisradius, u = Umfang

in u und v ausgedrückt ergibt dies:

ab/2 = (a+b+c)r/2
2uv(u^2-v^2)/2 = (2u^2+2uv)r/2
v(u-v) = r

bei gegebenem ganzzahligem Inkreisradius r hat man daher soviele nicht
àhnliche rechtw. Dreiecke wie der Inkreisradius r ganzzahlige Teiler hat;

ist dies überraschend oder doch logisch?



Mh, habe mal Geogebra angeworfen, und folgendes konstruiert:

- Vom Punkt M die Strecke r=3 zum Punkt B abgetragen.
- In B zu beiden Seiten von der Strecke BM je einen
45°-Winkel abgetragen,
die zugehörigen Geraden nenne ich Kathetengeraden g und h.
- Einen Punkt A auf der Kathetengeraden g eingezeichnet.
- die gerade g an der Geraden AM gespiegelt und g' erhalten
(damit ist AM winkelhalbierende von g, g').
- Den Schnittpunkt C von g' und der anderen Kathetengeraden h
gebildet.

Nun sind AM und BM Winkelhalbierende des rechtwinkligen
Dreiecks ABC, also r der Inkreisradius.

Wenn ich die Bezeichnungen oben richtig interpretiere,
müsste für r=3 das Paar u=4, v=3 zustàndig sein - damit
wàre a=u^2-v^2-9=7, b=2uv$ und c=u^2+v^2% die
im wesentlichen einzige ganzzahlige Seitenkombination.

Schiebe ich nun aber A so, daß |AC|=7 ist,
ergibt sich |BC|=7.5 (und auch sonst will sich keine
ganzzahlige Kombination einstellen).

Wo mag der Fehler liegen?

Gruß,
Detlef

Grüße,
Walter




Dr. Detlef Müller,
http://www.mathe-doktor.de oder http://mathe-doktor.de

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