Sphärisches Pendel (Lagrange Funktion)

25/11/2008 - 23:51 von Sven Bone | Report spam
Hallo,

Ich habe aktuell ein Problem bei der Herleitung der Lagrange Funktion L
des sphàrischen Pendels.

l = Lànge Pendel (Stab)
m = Masse der Kugel am Pendel
theta = Winkel zwische Z und l
phi = Wikel zwischen X und l

Kugelkoordinaten des Pendels (Matrix)

l*sin(theta)cos(phi)
r(theta, phi) = l*sin(theta)sin(phi)
-l*cos(theta)

Herleitung Lagrange-Funktion:

kinetische Energie
-

T = 1/2 * m * v^2 = 1/2 * ||r'||^2


theta'*l*cos(theta)cos(phi) - phi'*l*sin(theta)sin(phi)
r' = theta'*l*cos(theta)sin(phi) - phi'*l*sin(theta)cos(phi)
theta'*l*sin(theta)

Im Skript steht nun, für T folgt:

T = 1/2 m l^2 (theta'^2+(1-cos^2(theta))phi'^2)
= 1/2 m l^2 (theta'^2 + phi'^2 sin^2(theta)

Aber irgendwie komme ich beim besten willen nicht auf T.

Wenn ich meiner Ableitung r' weiter rechne komme ich auf folgende Lösung:

T = 1/2 m l^2 [theta'^2 - sin^2(theta)(sin^1(phi) - cos^2(phi))]

Habe ich evtl. bei der Ableitung von r einen Fehler gemacht? Oder fehlt
mir nur der letzte Umformungsschritt?

Danke für Eure Hilfe!

Viele Grüße
Sven
 

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#1 Dieter Heidorn
26/11/2008 - 17:01 | Warnen spam
Sven Bone schrieb:

Ich habe aktuell ein Problem bei der Herleitung der Lagrange Funktion L
des sphàrischen Pendels.

l = Lànge Pendel (Stab)
m = Masse der Kugel am Pendel
theta = Winkel zwische Z und l
phi = Wikel zwischen X und l

Kugelkoordinaten des Pendels (Matrix)

l*sin(theta)cos(phi)
r(theta, phi) = l*sin(theta)sin(phi)
-l*cos(theta)

Herleitung Lagrange-Funktion:

kinetische Energie
-

T = 1/2 * m * v^2 = 1/2 * ||r'||^2


theta'*l*cos(theta)cos(phi) - phi'*l*sin(theta)sin(phi)
r' = theta'*l*cos(theta)sin(phi) - phi'*l*sin(theta)cos(phi)
theta'*l*sin(theta)




In der y-Komponente sollte es " + phi'*l*sin(theta)cos(phi)"
heißen, dann ergibt sich richtig, was in deinem Skript steht:

T = 1/2 m l^2 (theta'^2+(1-cos^2(theta))phi'^2)
= 1/2 m l^2 (theta'^2 + phi'^2 sin^2(theta)




Dieter Heidorn

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