spiegelung an ursprungsgeraden, spiegelungsmatrix

18/02/2008 - 21:44 von filou | Report spam
hi all,

ich tue mich grad sehr schwer eine spiegelungsmatrix zu berechnen.
gegeben sind zwei vektoren und eine gerade durch den ursprung.
ich möchte eine spieglungsmatrix finden, die vektoren an dieser
geraden spiegelt.
wie gehe ich da am besten vor. es gibt ja folgende 2x2 matrix für
spiegelungen an ursprungsgeraden: (a = winkel)
cos(2a) sin(2a)
sin(2a) -cos(2a)

allerdings möchte ich auf andere weise zu meiner matrix gelangen, am
besten unter ausnutzen der orthogonalitàtseigenschaften der
rotationsmatrix
cos(a) -sin(a)
sin(a) cos(a)

möcht da irgendwie über das skalarprodukt vektoren zu der matrix
gelangen.
hier ein bild zur aufgabe:
http://img339.imageshack.us/my.php?...ungjx3.jpg

die làngen und winkelverhàltnisse àndern sich bei solch einer
orthogonalen abbildung ja nicht, deswegen hab ich mir überlegt müsste
es doch sein
<v,w2> = <Rv,Rw2>
genauso <v,w1> = <Rv,Rw1>

mit R = rotationsmatrix
damit hatte ich versucht auf zwei gleichungen zu kommen, bei denen ich
am ende meinen winkel isolieren kann, bekomme am ende allerdings nur
gleichungen mit so aussagen wie sin² + cos² = 1 also immer wahr,
solche aussagen helfen mir ja nicht weiter. ich brauch nen konkreten
winkel, damit ich ihn in meine Rotationsmatrix einsetzen kann.
mit <x,y> = ||x|| * || y || * cos(eingeschl. winkel) und dann den
winkel isolieren geht zwar aber damit bekomme ich nur immer nen
winkel, der eingesetzt in die rotationsmatrix, den fall bzw problem
nur für einen vektor löst. brauche halt ne matrix, die jeden vektor an
der geraden spiegelt.
wenn es noch ne andere konkrete form für die spiegelungsmatrix gibt,
also ohne cos, sin und ne möglichkeit dahinzukommen würde das auch
helfen.

danke schonmal
filou
 

Lesen sie die antworten

#1 Almut Eisentraeger
18/02/2008 - 23:37 | Warnen spam
Hallo filou,

ich wüsste nicht, wieso du eine Rotationsmatrix als Spiegelungsmatrix
erhalten solltest.

Wie gehst du denn bei der Spiegelung eines Punktes A an einer
Ursprungs-Geraden(!) vor?
Du fàllst das Lot auf die Gerade, bestimmst den Fußpunkt B (Stichwort:
Projektion von A auf einen Unterraum) und verdoppelst die Strecke AB
zu AA'.
In Ortsvektoren ausgedrückt: a'=b+(b-a)=2b-a
Wenn du jetzt dein b geschickt durch v und a ausdrückst, erhàlst du
etwas in der Form: a'=(Matrix(v)-I)a

Liebe Grüße,
Almut
Bei Antworten per E-Mail bitte den Unterstrich aus der Adresse entfernen.

Ähnliche fragen