Spiegelung vs. Inversion

17/08/2014 - 16:58 von Hagen Schwaß | Report spam
Hallo,

gegeben sei eine Ebene E im 3D Raum, mit den Spannvektoren e1 und e2 sowie dem Normalenvektor en. Die Inverse von (e1,e2,en) sei A und betrachtet wird ein Objekt O im 3D Raum.

Die Abbildung

i:O->O_i,

i(o)=(e1,e2,-en)*A*o

ist eine Inversion, die O in sein bezüglich E inverses Objekt O_i transformiert. Seit das Objekt O polygonal, d.h. mit Knoten und Kanten beschrieben. Betrachte zwei Kanten k1, k2 von O, sowie deren inverse Kanten ki1, ki2. Der im Uhrzeigersinn verlaufende Winkel zwischen k1 und k2 ist 2*Pi weniger dem im Uhrzeigersinn verlaufenden Winkel zwischen ki1 und ki2. Möchte man diese Winkel aus Symmetrie-Gründen gleich groß sehen, so muss man einen der beiden Winkel entgegengesetzt zum Uhrzeigersinn messen. Man kann auch sagen, dass i O durch E stülpt. Vgl. auch "Stringmatching" als Methode zur Symmetrieerkennung.
 

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#1 Detlef Müller
17/08/2014 - 18:41 | Warnen spam
On 17.08.2014 16:58, Hagen Schwaß wrote:
Hallo,

gegeben sei eine Ebene E im 3D Raum, mit den Spannvektoren e1 und e2
sowie dem Normalenvektor en. Die Inverse von (e1,e2,en) sei A und
betrachtet wird ein Objekt O im 3D Raum.

Die Abbildung

i:O->O_i,

i(o)=(e1,e2,-en)*A*o

ist eine Inversion, die O in sein bezüglich E inverses Objekt O_i
transformiert. Seit das Objekt O polygonal, d.h. mit Knoten und
Kanten beschrieben. Betrachte zwei Kanten k1, k2 von O, sowie deren
inverse Kanten ki1, ki2. Der im Uhrzeigersinn verlaufende Winkel
zwischen k1 und k2 ist 2*Pi weniger dem im Uhrzeigersinn verlaufenden
Winkel zwischen ki1 und ki2. Möchte man diese Winkel aus
Symmetrie-Gründen gleich groß sehen, so muss man einen der beiden
Winkel entgegengesetzt zum Uhrzeigersinn messen. Man kann auch sagen,
dass i O durch E stülpt. Vgl. auch "Stringmatching" als Methode zur
Symmetrieerkennung.



Ich gebe folgendes zu Bedenken:

Wenn zwei Kanten ka, kb innerhalb von E verlaufen, ergibt die
Spiegelung an E genau die selben Kanten, da die Abbildung i
eingeschrànkt auf E die identische Abbildung ist.

Der Winkel zwischen ka und kb àndert sich folglich gar nicht, d.h. ist
gleich dem Winkel zwischen den Bildkanten unter i und insbesondere
àndert sich dann nicht der Drehsinn (das selbe, wenn ka und kb in einer
Ebene parallel zu E liegen).

Gruß,
Detlef

Dr. Detlef Müller,
http://www.mathe-doktor.de oder http://mathe-doktor.de

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