Spiel mit Pythagoras

09/05/2010 - 03:55 von Andreas Hagl | Report spam
Hallo,
ich bin Laie, aber manchmal packt's mich und dann spiele ich ein bisschen (und das von abends um 11 bis morgens um 4, oh Gott).

Jeder kennt den Satz des Pythagoras: a^2 + b^2 = c^2.
Ich hab das jetzt mal um eine Dimension erhöht (nein, ich will nicht auf Fermats Grossen Satz raus).
Stellt euch das rechtwinklige Dreieck mal in ein zweidimensionales Koordinatensystem gelegt vor, und zwar so, daß der rechte Winkel
im Ursprung liegt und die zwei Katheten auf der x- und der y-Achse.
Die zwei Katheten des Dreiecks sind dann die Linien zwischen (0,0) und (x,0) bzw. (0,0) und (0,y), die Hypothenuse ist die Linie
zwischen (x,0) und (0,y).
Den Eckpunkt, der im Ursprung liegt nenne ich jetzt einfach mal P0, den Eckpunkt auf der x-Achse Px und den Eckpunkt auf der y-Achse
Py.
Die Seite des Dreiecks die auf der x-Achse liegt nenne ich L0x (für Linie von P0 nach Px) mit der Lànge x, die Dreiecksseite auf der
y-Achse L0y mit der Lànge y und die Hypothenuse nenne ich Lxy mit der Lànge sqrt(x^2+y^2).

So, und jetzt die Erhöhung um eine Dimension:
Stellt euch jetzt eine dritte (z-)Achse vor. Darauf soll jetzt noch ein Punkt Pz (0,0,z) liegen. Jetzt gibt es vier Dreiecke,
nàmlich die drei rechtwinkligen Dreiecke
P0,Px,Py mit den Seiten L0x, L0y und Lxy
P0,Py,Pz mit den Seiten L0y, L0z und Lyz
P0,Pz,Px mit den Seiten L0z, L0x und Lzx
und das Dreieck
Px, Py, Pz mit den Seiten Lxy, Lyz und Lzx
das quasi der Boden der durch die anderen drei Dreiecke aufgespannten Pyramide ist.
Und weil wir ja alles um eine Dimension erhöhen wollten, betrachten wir jetzt nicht mehr die Làngen der Dreiecksseiten, sondern die
Flàcheninhalte der Dreiecke. Diese Flàcheninhalte nenne ich jetzt mal F0xy für das Dreieck P0,Px,Py sowie F0yz, F0zx und Fxyz für
die anderen Dreiecke.

Es gilt für die Làngen:

L0x = x
L0y = y
L0z = z
Lxy = sqrt(x^2+y^2)
Lyz = sqrt(y^2+z^2)
Lzx = sqrt(z^2+x^2)

Und für die Flàchen gilt:
F0xy = x*y/2
F0yz = y*z/2
F0zx = z*x/2
Fxyz=sqrt((Lxy+Lyz+Lzx)*(-Lxy+Lyz+Lzx)*(Lxy-Lyz+Lzx)*(Lxy+Lyz-Lzx))/4 (Satz des Heron, Wikipedia sei Dank)

Ich behaupte (Satz des Hagl):
Für die Dreiecksflàchen gilt
F0xy^2 + F0yz^2 + F0zx^2 = Fxyz^2

Leider bin ich jetzt nicht fit genug, um
F0xy^2 + F0yz^2 + F0zx^2 = ((Lxy+Lyz+Lzx)*(-Lxy+Lyz+Lzx)*(Lxy-Lyz+Lzx)*(Lxy+Lyz-Lzx)/16
zu beweisen, aber mit eingesetzten Zahlen scheint es zu stimmen.

(Ich hàtte natürlich auch behaupten können, dass ich dafür einen wunderbaren Beweis hab, dass aber der Rand hier zu schmal ist, um
ihn hinzuschreiben.)


Meine Fragen dazu:
1) Ist das für irgend etwas gut?
2) Oder ist das trivial? (Mich hat es verblüfft)

So was àhnliches wie die pythagoreischen Tripel gibt's da auch.
Für das haglsche Tripel x = 2, y = 4 und z = 16 ergeben sich die ganzzahligen Flàchen F0xy = 4, F0yz = 32, F0zx = 16 und Fxyz = 36.

Noch ne Frage:
3) Gibt es noch mehr (vielleicht unendlich viele) haglsche primitive Tripel?

Ach ja, ich trau mich wetten, daß das auch noch mit allen höheren Dimensionen geht, also z.B. mit Volumen in einem vierdimensionalen
Koordinatensystem u.s.w.


Was haltet Ihr von dieser Spielerei?

Gruss,
Andi
 

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#1 Jutta Gut
09/05/2010 - 10:54 | Warnen spam
"Andreas Hagl" schrieb


Ich behaupte (Satz des Hagl):
Für die Dreiecksflàchen gilt
F0xy^2 + F0yz^2 + F0zx^2 = Fxyz^2



Damit hast du einen bekannten Satz wiederentdeckt:
http://de.wikipedia.org/wiki/Satz_von_de_Gua


Ach ja, ich trau mich wetten, daß das auch noch mit allen höheren
Dimensionen geht, also z.B. mit Volumen in einem vierdimensionalen
Koordinatensystem u.s.w.



Stimmt.

Grüße
Jutta

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