SRT: Zwillingsparadoxon *nur* mit Formel für Zeitdilatation erklärbar

15/05/2010 - 17:30 von Stephan Gerlach | Report spam
So gut wie jeder Mensch kennt die Formel für die Zeitdilation

t' = t*sqrt(1-v²/c²)

Hierbei sind S, S' Inertialsysteme und
v = Relativgeschwindigkeit zwischen S und S'
t = Zeitdauer, die ein Beobachter in S für ein in S' stattfindendes
Ereignis E' mißt
t' = Zeitdauer, die ein Beobachter in S' für das Ereignis E' mißt

Hàufig(?) liest man zu diesem Thema Aufgaben der Form:

Wir haben 2 Zwillinge A und B. A bleibt auf der Erde, dem
Inertial(!)system S. B fliegt für t = 10 Jahre mit 0.9c mit einer Rakete
durch die Gegend und kommt anschließend zur Erde zurück. Wàhrend der
Flugphase mit konstanter Geschwindigkeit 0.9c ist - wie jedermann weiß -
nicht feststellbar, welcher der beiden A oder B eigentlich der "bewegte"
ist, so daß wàhrenddessen(!) jeder den anderen langsamer altern sieht.

Trotzdem stellen beide nach dem Wiederzusammentreffen fest, daß B genau

t' = 10*sqrt(1-(0.9c)²/c²) Jahre

gealtert ist, also *weniger* als A.
Kann man nun einfach - in naiver Herangehensweise - einfach argumentieren
"das Alter von B errechnet sich aus der Zeitdilatations-Formel"?
So z.B. neulich gesehen in einer Schul(buch?)-Aufgabe. IMHO werden bei
dieser Begründung aber die Gültigkeits-Bedingungen dieser Formel nicht
so recht beachtet. Mit dieser Argumentation könnte man aber IMHO genauso
schlußfolgern, daß B um

t' = 10/sqrt(1-(0.9c)²/c²) Jahre

gealtert wàre, also *mehr* als A.



Eigentlich sollte Brain 1.0 laufen.


gut, dann werde ich mir das morgen mal besorgen...
(...Dialog aus m.p.d.g.w.a.)
 

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#1 Roland Franzius
15/05/2010 - 18:04 | Warnen spam
Stephan Gerlach schrieb:
So gut wie jeder Mensch kennt die Formel für die Zeitdilation

t' = t*sqrt(1-v²/c²)

Hierbei sind S, S' Inertialsysteme und
v = Relativgeschwindigkeit zwischen S und S'
t = Zeitdauer, die ein Beobachter in S für ein in S' stattfindendes
Ereignis E' mißt
t' = Zeitdauer, die ein Beobachter in S' für das Ereignis E' mißt

Hàufig(?) liest man zu diesem Thema Aufgaben der Form:

Wir haben 2 Zwillinge A und B. A bleibt auf der Erde, dem
Inertial(!)system S. B fliegt für t = 10 Jahre mit 0.9c mit einer Rakete
durch die Gegend und kommt anschließend zur Erde zurück. Wàhrend der
Flugphase mit konstanter Geschwindigkeit 0.9c ist - wie jedermann weiß -
nicht feststellbar, welcher der beiden A oder B eigentlich der "bewegte"
ist, so daß wàhrenddessen(!) jeder den anderen langsamer altern sieht.

Trotzdem stellen beide nach dem Wiederzusammentreffen fest, daß B genau

t' = 10*sqrt(1-(0.9c)²/c²) Jahre

gealtert ist, also *weniger* als A.
Kann man nun einfach - in naiver Herangehensweise - einfach argumentieren
"das Alter von B errechnet sich aus der Zeitdilatations-Formel"?
So z.B. neulich gesehen in einer Schul(buch?)-Aufgabe. IMHO werden bei
dieser Begründung aber die Gültigkeits-Bedingungen dieser Formel nicht
so recht beachtet. Mit dieser Argumentation könnte man aber IMHO genauso
schlußfolgern, daß B um

t' = 10/sqrt(1-(0.9c)²/c²) Jahre

gealtert wàre, also *mehr* als A.



Gegenüber einem (beliebigen) Intertialsystem (t,x) ist die Eigenzeitsekunde

dtau = sqrt(dt^2-dx^2/c^2)

lang. Diese Lànge hàngt von niemandem ab der etwas behauptet. Die
umgekehrte Formel lautet offenbar

dt = sqrt(dtau^2 + dx^2/c^2)

aber nun stehen rechts dx-Làngen, die gleichzeitig in dx, nicht in dtau
gemessen werden. Entsprechend gilt nach Division durch dt

dtau = dt sqrt(1-v^2/c^2)

und dabei ist v=dx/dt, die Koordinatengeschwindigkeit im System (t,x).

Die inverse Formel

dt = dtau/sqrt(1-v^2/c^2)

bezieht sich rechts auf eine Geschwindigkeit im flaschen System, kann
also nicht für Argumentationen von Symmetrie herhalten.

Die richtige Übersetzung lautet eben wieder

dt = dtau sqrt(1-(dx*/dtau)^2/c^2 ),


hat also die identische Form und bedeutet nun etwas völlig anderes,
nàmlich die Zeit dt einer einzelnen, zB in x ruhenden Uhr, gemessen mit
der Zeitdifferenz dtau zweier bewegter Uhren an Positionen x* und dx*.

Wie schon Philo kürzlich überzeugend demonstiert hat, mangelt es der
Sprache an überzeugend klaren Bezeichnungen für wechselseitige relative
Beobachtungen.

Man muss sich schon einer unzweideutigen mathematischen Sprache für die
Beschreibung und die Transformationen vektorieller Größen unter Wechsel
der Basis bedienen, dies gilt umso mehr im Fall der Aufgabe
gleichzeitiger Basen resp der Ràume konstanter Uhrzeiten in der SRT.



Roland Franzius

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