Starrer Körper frei beweglich, Kraft nicht durch Schwerpunkt

14/05/2015 - 01:33 von Stephan Gerlach | Report spam
Gegeben sei ein System aus n Massepunkten m_1, ..., m_n
mit den zeitabhàngigen Koordinaten r_1, ..., r_n.
Der (zeitabhàngige) Schwerpunkt sei r.
Die Gesamtmasse sei m.
Die (àußere) Kraft auf den i-ten Massepunkt sei F_i.
Die Gesamtkraft (Summe aller F_i) sei F.

Dann gilt klassisch der sogenannte Massenmittelpunktsatz (wohl auch
Schwerpunktsatz genannt?!):

m * (d^2)r/d(t^2) = F.

(Dabei bezeichnet (d^2)r/d(t^2) die 2. Ableitung von r nach der Zeit t.)

In Worten: Der Schwerpunkt bewegt sich so, als ob die Gesamtmasse in ihm
konzentriert wàre sowie die Gesamtkraft in ihm angreifen würde.

Insbesondere gilt der Satz für den Spezialfall, daß das Massepunktsystem
ein starrer Körper ist - soweit, so gut.


Nun zu meiner eigentlichen Frage:

Gegeben sei ein starrer Körper, der auf einer Ebene liegt und dort
reibungsfrei "gleiten" kann. Der Körper sei nirgends an irgendwelchen
Achsen befestigt.
(Man kann sich auch allgemeiner vorstellen, daß der Körper in einem
kràftefreien Raum "schwebt".)

Fall 1.)
Es greift eine Kraft F (kein homogenes Kraftfeld!) entlang einer
Wirkungslinie an, die genau durch den Schwerpunkt geht.
aus.
Dieser Fall ist klar.

Fall 2.)
Die Kraft F soll jetzt entlang einer Wirkungslinie angreifen, die
*nicht* mehr durch den Schwerpunkt geht.
Ein gefundenes Bild dazu:
<http://www.matheplanet.com/mathepla...e.png>;
auch dort mit "Fall 2" bezeichnet.

Was passiert jetzt?

a) Intuitiv ergibt sich eine Translation *und* eine Rotation um den
Schwerpunkt, da ein Drehmonent ("um den Schwerpunkt"?) wirkt.

b) Nach dem Schwerpunktsatz müßte für die Translation
m * (d^2)r/d(t^2) = F
gelten, genauso(!) wie bei Fall 1.

c) Es sollte für die Rotation
dL/dt = M
gelten, wobei L der Gesamtdrehimpuls sowie M das Gesamtdrehmoment
(jeweils bezüglich des Schwerpunktes?) sind.
(Wobei M ja einfach nur r'×_F ist, r' = Vektor vom Schwerpunkt zum
Kraft-Angriffspunkt.) Da M nicht 0 ist, erfolgt eine Drehumpulsànderung
- der Körper beginnt zu rotieren.

d) Die Kombination von b) und c) erscheint mir nun sehr fragwürdig, da
in Fall 2 der Körper in der Translation *genauso* stark beschleunigt
würde (siehe b!) wie in Fall 1.
D.h. dieselbe Kraft F verursacht in Fall 2 in derselben Zeit "mehr" als
in Fall 1, nàmlich *zusàtzlich* zur Translation noch die Rotation?!
Bilde ich mir das nur ein, oder wàre da irgendwo der Energiesatz verletzt?

e) Woraus genau folgt, daß die Rotationsachse durch den Schwerpunkt geht?


Insbesondere Hinweise zum (vermeintlichen? echten?) Widerspruch bei d)
würden mich interessieren. Bzw. wo der Denkfehler liegt :-) .



Eigentlich sollte Brain 1.0 laufen.


gut, dann werde ich mir das morgen mal besorgen...
(...Dialog aus m.p.d.g.w.a.)
 

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#1 The Cylon
14/05/2015 - 12:26 | Warnen spam
Die besseren Studenten können folgenden Tràgheitstensor auch mit der Hand berechnen :


Ein Quader, der um eine Achse durch den Mittelpunkt rotiert, die parallel zu seinen Kanten c liegt. J = {1 \12} m \ (a^2 + b^2)

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